一、學(xué)習(xí)指引
1.知識要點(diǎn)：
三角形及四邊形的基本性質(zhì)，特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似等變換的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)。
2.方法指導(dǎo)：
（1）解決動(dòng)態(tài)幾何型問題的策略：化“動(dòng)”為“靜”——利用運(yùn)動(dòng)中特殊點(diǎn)的位置將圖形分類；“靜”中求“動(dòng)”——針對各類圖形，分別解決動(dòng)態(tài)問題。
（2）解決圖形分割問題的思維方式是：從具體問題出發(fā)→觀察猜想→實(shí)驗(yàn)操作→形成方案→嚴(yán)密計(jì)算與論證；圖形分割問題的解題策略：比較原圖形與分割后圖形在邊、角、面積等方面的變化是解決圖形分割問題的著手點(diǎn)；
（3）新概念性幾何題解題策略：正確理解問題中的“新概念”，然后抓住 “新概念”的特征，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識綜合解決問題。
二、 典型例題
例1．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿路線B→C→D作勻速運(yùn)動(dòng)，那么△ABP的面積S與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程 之間的函數(shù)圖象大致是（ ）
例2．如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm( )，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；
（2）當(dāng)x 為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
例3．三張形狀、大小完全相同的平行四邊形透明紙片，分別放在方格紙中，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1，并且平行四邊形紙片的每個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的頂點(diǎn)重合（如圖1、圖2、圖3）．分別在圖1、圖2、圖3中，經(jīng)過平行四邊形紙片的任意一個(gè)頂點(diǎn)畫一條裁剪線，沿此裁剪線將平行四邊形紙片裁成兩部分，并把這兩部分重新拼成符合下列要求的幾何圖形．要求如下：
（1）在左邊的平行四邊形紙片中畫一條裁剪線，然后在右邊相對應(yīng)的方格紙中，按實(shí)際大小畫出所拼成的符合要求的幾何圖形；
（2）裁成的兩部分在拼成幾何圖形時(shí)要互不重疊且不留空隙；
（3）所畫出的幾何圖形的各頂點(diǎn)必須與小正方形的頂點(diǎn)重合．
例4．如圖，兩個(gè)邊長分別為4和3的正方形，請用線段將它們進(jìn)行適當(dāng)分割，剪拼成一個(gè)大正方形，請?jiān)谙聢D中分別畫出兩種不同的拼法，并將剪拼前、后的相同區(qū)域用相同數(shù)字序號標(biāo)出．
例5．如圖，在梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為(14，0)，(14，3)，(4，3)．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別做勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試分別寫出這時(shí)點(diǎn)Q在OC上或CB上時(shí)的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示，不要求寫出x的取值范圍)；
（2）設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半．
①試用含x的代數(shù)式表示這時(shí)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程和它的速度；
②試問：這時(shí)直線PQ是否可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分？如果有可能，求出相應(yīng)的x的值和P、Q的坐標(biāo)，如不可能，請說明理由．
例6．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動(dòng)，直到點(diǎn)N與點(diǎn)B重合為止。
（1）等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由________形變化為___________形；
（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯恰鱌MN移動(dòng)x（s）時(shí)，等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2）。
① 當(dāng)x=6時(shí)，求y的值；
② 當(dāng)6＜x≤10時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系。
例7．邊形一條對角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．如圖l，點(diǎn)P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)． (1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)． (2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)． (3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點(diǎn)P是四邊形AB CD的準(zhǔn)等距點(diǎn)． (4)試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況(說出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明)．
直線型幾何綜合題同步練習(xí)
班級 姓名
【基礎(chǔ)鞏固】
1．如圖,一艘旅游船從A點(diǎn)駛向C點(diǎn). 旅游船先從A點(diǎn)沿以D為圓心的弧AB行駛到B點(diǎn),然后從B點(diǎn)沿直徑行駛到圓D上的C點(diǎn).假如旅游船在整個(gè)行駛過程中保持勻速,則下面各圖中,能反映旅游船與D點(diǎn)的距離隨時(shí)間變化的圖象大致是（ ）
2．如圖，A，B的坐標(biāo)為（2，0），（0，1）若將線段 平移至 ，則—2（ ）的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （ ）
（A）（0，0） （B）（ ， ）
（C）（－ ，－ ） （D）（－ ，－ ）
4．如圖，一個(gè) 的矩形可以用3種不同的方式分割成2或5或8個(gè)小正方形，那么一個(gè) 的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個(gè)數(shù)可以是
5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) ， ，對△ 連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、②、③、④…，則三角形⑩的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
6．如圖，將邊長為1的正三角形 沿 軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2008次，點(diǎn) 依次落在點(diǎn) 的位置，則點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ．
7．矩形ABCD的邊AB=8，AD=6，現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動(dòng)地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置 時(shí)（如圖所示），則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長是_________
8．如圖，正方形ABCD邊長為1，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的運(yùn)動(dòng)路程為2009時(shí)，點(diǎn)P所在位置為______；當(dāng)點(diǎn)P所在位置為D點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為______（用含自然數(shù)n的式子表示）．
9．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，畫出面積不相等的三個(gè)菱形，使菱形的頂點(diǎn)都在矩形的邊上，并分別求出所畫菱形的面積。（下列圖形供畫圖用）
10．我們知道：過平行四邊形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)，作一條垂線段，沿這條垂線段剪下這個(gè)三角形紙片，將它平移到右邊的位置，平移距離等于平行四邊形的底邊長a，可得到一個(gè)矩形（如圖1）。（1）在圖2的紙片中，AD＞AB，按上述方法，你能使所得的四邊形是菱形嗎？如果能，畫出這條線段及平移后的三角形（用陰影部分表示）；如果不能，請說明理由。（2）什么樣的平行四邊形紙片按上述方法能得到正方形？畫出這個(gè)平行四邊形，并說明理由。
11．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”。小明說“‘半菱形’的面積等于兩條對角線乘積的一半”。他的說法正確嗎？請你判斷并證明你的結(jié)論。
12．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10㎝，BC=8㎝。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2㎝的速度沿線段AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3㎝的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。
（1）求CD的長；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為20㎝2，若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由。
【能力拓展】
13．把兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）。
（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH＝ ，△GKH的面積為 ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 ？若存在，求出此時(shí) 的值；若不存在，說明理由。
14．我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.
(1)除了正方形外,寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱: ;
(2)如圖1,已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O(0,0),A(3,0),B(0,4),請你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn),OA,OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB,并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,以ΔABC的邊AB,AC為邊,向三角形外作正方形ABDE及ACFG,連結(jié)CE,BG相交于O點(diǎn),P是線段DE上任意一點(diǎn).求證:四邊形OBPE是勾股四邊形.
15．如圖，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”．在研究“接近度”時(shí)，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等．
（1）設(shè)菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為 和 ，將菱形的“接近度”定義為 ，于是， 越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一個(gè)內(nèi)角為 ，則該菱形的“接近度”等于 ；
②當(dāng)菱形的“接近度”等于 時(shí)，菱形是正方形．
（2）設(shè)矩形相鄰兩條邊長分別是 和 （ ），將矩形的“接近度”定義為 ，于是 越小，矩形越接近于正方形．你認(rèn)為這種說法是否合理？若不合理，給出矩形的“接近度”一個(gè)合理定義．
直線型幾何綜合題（典型例題）
例1.B
例2.（1） （2）x=2或x=4 （3）不存在，理由略.
例3.
（1）（2）
（3）
例4.
例5. (1)當(dāng)Q在OC上時(shí)， Q ( )；當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)， Q (2x-1，3)． (2)①點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程為16-x，速度為 ．②PQ不可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．
例6.等腰直角三角形；等腰梯形；（2）①9；②y=3x-9。
例7.解：(1)因?yàn)榱庑蔚膶蔷�互相垂直平分，所以在直線AC上除線段AC中點(diǎn)外的任意一點(diǎn)都符合條件。2)線段BD的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)。(3)連結(jié)DB，證 △DCF≌△BCE(AAS)， ∴CD=CB， ∴∠CDB=∠CBD. ∴∠PDB=∠PBD， ∴PD=PB， ∵PA≠PC ∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
(4)①當(dāng)四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；②當(dāng)四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經(jīng)過另一對角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；③當(dāng)四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．
直線型幾何綜合題（同步練習(xí)）
【基礎(chǔ)鞏固】
1．B； 2．D ；3．C ； 4．4或7或9或12或15個(gè)小正方形； 5． ；6． 2008；
7．12π；8．點(diǎn)B；4n＋3；
11．
12．(1)CD=16(cm) (2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，
點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖，由題知：BP=10-2t
,DQ=3t。10-2t=3t,解得t=2此時(shí)，BP=DQ=6,CQ=10。
BQ= = 。∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）
=12+ (cm) (3)假設(shè)存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的
面積為20cm2
∵BP=10-2t。S△BPQ= ∴t=
∴存在t, 當(dāng)t= 秒時(shí)△BPQ的面積為20cm2′
【能力拓展】
13．（1）S四邊形CHGK的面積為4，是一個(gè)定值；（2） （0＜ ＜4）；（3）當(dāng) 或 時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC的面積的 。
14．（1）矩形．正方形等；（2）（3，4）．（4，3）；（3）略
15．（1）①40． ②0．（2）不合理．例如，對兩個(gè)相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但 卻不相等．合理定義方法不，如定義為 ． 越小，矩形越接近于正方形； 越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當(dāng) 時(shí)，矩形就變成了正方形．
