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第二章平面向量
2．1平面向量的實際背景及基本概念
2．1．1向量的物理背景與概念
2．1．2向量的幾何表示
（第11題）1．D.2．D.3．D.4．0.5．一個圓.6．②③.
7．如：當b是零向量，而a與c不平行時，命題就不正確．
8．（1）不是向量.（2）是向量，也是平行向量.（3）是向量，但不是平行向量.（4）是向量，也是平行向量．
9．BE，EB，BC，CB，EC，CE，FD（共7個）.
10．AO，OA，AC，CA，OC，CO，DO，OD，DB，BD，OB，BO（共12個）.
11．（1）如圖.（2）AD的大小是202m，方向是西偏北45°.
2．1．3相等向量與共線向量
1．D.2．D.3．D.4．①②.5．④.6．③④⑤.
7．提示：由AB=DCAB=DC，AB∥DCABCD為平行四邊形AD=BC.
（第8題）8．如圖所示：A1B1，A2B2，A3B3.
9．（1）平行四邊形或梯形.（2）平行四邊形.（3）菱形.
10．與AB相等的向量有3個（OC，FO，ED），與OA平行的向量有9個（CB，BC，DO，OD，EF，FE，DA，AD，AO）,模等于2的向量有6個（DA,AD,EB,BE,CF,FC）.
11．由EH,FG分別是△ABD,△BCD的中位線，得EH∥BD，EH=12BD,且FG∥BD，FG=12BD，所以EH=FG,EH∥FG且方向相同，∴EH=FG．
2．2平面向量的線性運算
2．2．1向量加法運算及其幾何意義
1．D.2．C.3．D.4．a，b.5．①③.6．向南偏西60°走20km.
7．作法：在平面內任取一點O，作OA=a,AB=b,BC=c,則OC=a+b+c，圖略.
8．（1）原式=（BC+CA）+(AD+DB)=BA+AB=0.
（2）原式=(AF+FE)+(ED+DC)+CB=AE+EC+CB=AB.
9．2≤|a+b|≤8．當a，b方向相同時，|a+b|取到值8；當a，b方向相反時，|a+b|取到最小值2.
10．（1）5.（2）24.
11．船沿與河岸成60°角且指向上游的方向前進，船實際前進的速度為33km/h．
2．2．2向量減法運算及其幾何意義
1．A.2．D.3．C.4．DB，DC.5．b-a.6．①②.
7．（1）原式=(PM+MQ)+(NP-NQ)=PQ+QP=0.
（2）原式=(BC-BD)+(CA+AD)+CD=DC+CD+CD=CD.
8．CB=-b，CO=-a，OD=b-a，OB=a-b.
9．由AB=DC，得OB-OA=OC-OD，則OD=a-b+c.
10．由AB+AC=(AD+DB)+(AE+EC)及DB+EC=0得證．
11．提示：以OA,OB為鄰邊作OADB,則OD=OA+OB，由題設條件易知OD與OC為相反向量，
∴OA+OB+OC=OD+OC=-OC+OC=0.
2．2．3向量數乘運算及其幾何意義
1．B.2．A.3．C.4．-18e1+17e2.5．(1-t)OA+tOB.6.③.
7．AB=12a-12b，AD=12a+12b.8．由AB=AM+MB,AC=AM+MC，兩式相加得出.
9．由EF=EA+AB+BF與EF=ED+DC+CF兩式相加得出.
10．AD=a+12b,AG=23a+13b,GC=13a+23b,GB=13a-13b.
11．ABCD是梯形．∵AD=AB+BC+CD=-16a+2b=2BC,∴AD∥BC且AD≠BC.
2．3平面向量的基本定理及坐標表示
2．3．1平面向量基本定理
2．3．2平面向量的正交分解及坐標表示
1．D.2．C.3．C.4．(-2,3),(23,2).5．1,-2.6．①③.
7．λ=5．提示：BD=CD-CB=-3i+(3-λ)j，令BD=kAB(k∈R)，求解得出.
8．16．提示：由已知得2x-3y=5，5y-3x=6，解得x=43,y=27.
9．a=-1922b-911c．提示：令a=λ1b+λ2c，得到關于λ1,λ2的方程組，便可求解出λ1,λ2的值．
10．∵a,b不共線，∴a-b≠0，假設a+b和a-b共線，則a+b=λ·(a-b)，λ∈R，有(1-λ)a+(1+λ)b=0.∵a,b不共線，∴1-λ=0，且1+λ=0，產生矛盾，命題得證．
11．由已知AM=tAB（t∈R），則OM=OA+AM=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB，令λ=1-t，μ=t，則OM=λOA+μOB，且λ+μ=1(λ,μ∈R)．
2．3．3平面向量的坐標運算
2．3．4平面向量共線的坐標表示
1．C.2．D.3．D.4．(12,-7)，1,12.5．(-2,6)6．(20,-28)
7．a-b=(-8，5)，2a-3b=(-19,12)，-13a+2b=233,-5．
8．AB+AC=(0,1),AB-AC=(6,-3),2AB+12AC=92,-1.
9．提示：AB=(4,-1),EF=EA+AB+BF=83,-23=23AB.
10．31313,-21313或-31313,21313．
11．（1）OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，當點P在第二象限內時，1+3t＜0，且2+3t＞0，得-23＜t＜-13.
（2）若能構成平行四邊形OABP，則OP=AB，得(1+3t,2+3t)=(3,3)，即1+3t=3，且2+3t=3，但這樣的實數t不存在，故點O，A，B，P不能構成平行四邊形．2.4平面向量的數量積
2．4．1平面向量數量積的物理背景及其含義
1．C.2．C.3．C.4．-122；-32.5．(1)0.(2)±24.(3)150°.
6．①.7．±5.8．-55；217；122.9．120°.
10．-25．提示：△ABC為直角三角形，∠B=90°，∴AB·BC=0，BC與CA的夾角為180°-∠C，CA與AB的夾角為180°-∠A，再用數量積公式計算得出．
11．-1010．提示：由已知：（a+b）·（2a-b）=0，且（a-2b）·（2a+b）=0，得到a·b=-14b2，a2=58b2，則cosθ=a·b|a||b|=-1010．
2．4．2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
1．B.2．D.3．C.4．λ＞32.5．（2，3）或（-2，-3）.6．［-6,2］.
7．直角三角形.提示：AB=(3,-2),AC=(4,6),則AB·AC=0,但｜AB｜≠|AC|.
8．x=-13；x=-32或x=3.9.1213,513或-1213,-513.
10．正方形．提示：AB=DC,|AB|=|AD|,AB·AD=0.
11．當C=90°時，k=-23;當A=90°時，k=113;當B=90°時，k=3±132.
2．5平面向量應用舉例
2．5．1平面幾何中的向量方法
1．C.2．B.3．A.4．3.5．a⊥b.6．②③④.
7．提示：只需證明DE=12BC即可.8．(7,-8).
9．由已知：CN=NA,BN=NP,∴AP=NP-NA=BN-CN=BC，同理可證：QA=BC，
∴AP=QA，故P,A,Q三點共線.
10．連結AO,設AO=a,OB=b,則AB=a+b,OC=-b,AC=a-b,|a|=|b|=r，∴AB·AC=a2-b2=0,∴AB⊥AC.
11．AP=4PM．提示：設BC=a,CA=b，則可得MA=12a+b，BN=a+13b，由共線向量，令PA=mMA,BP=nBN及PA+BP=BA=a+b，解得m=45，所以AP=4PM.
2．5．2向量在物理中的應用舉例
1．B.2．D.3．C.4．|F||s|cosθ.5．(10,-5).6．④⑤.
7．示意圖略,603N.8．102N.9．sinθ=v21-v22|v1|.
（第11題）10．（1）朝與河岸成60°的角且指向上游的方向開.（2）朝與河岸垂直的方向開.
11．（1）由圖可得：|F1|=|G|cosθ，|F2|=|G|·tanθ，當θ從0°趨向于90°時，|F1|,|F2|都逐漸增大.
（2）令|F1|=|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥12，∴0°≤θ≤60°.
（第12(1)題）12．(1)能確定．提示：設v風車，v車地，v風地分別表示風對車、車對地、風對地的相對速度，則它們的關系如圖所示，其中｜v車地｜＝6m/s，則求得：|v風車|＝63m/s，|v風地|＝12m/s．
(2)假設它們線性相關，則k1a1+k2a2+k3a3=0（k1,k2,k3不全為零），得(k1,0)+(k2,-k2)+(2k3,2k3)=(0,0),有k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0，可得適合方程組的一組不全為零的解：k1=-4,k2=2,k3=1，所以它們線性相關.
(3)假設滿足條件的θ存在，則由已知有：(a+b)2=3(a-b)2，化簡得，|a|2-4|a||b|cosθ+|b|2=0，令t=|a||b|，則t2-4cosθ·t+1=0，由Δ≥0得，cosθ≤-12或cosθ≥12，故0≤θ≤π3或2π3≤θ≤π時，等式成立．
單元練習
1．C.2．A.3．C.4．A.5．C.6．C.7．D.8．D.9．C.
10．B.11．①②③④.12．-7.13．λ＞103.14．0,2.15.53.
16.2-2.17.④.18.(1)-13.(2)19.
19．（1）(4,2).（2）-41717．提示：可求得MA·MB=5(x-2)2-8；利用cos∠AMB=MA·MB|MA|·|MB|，求出cos∠AMB的值.
20．（1）提示：證(a-b)·c=0.（2）k＜0,或k＞2．提示：將式子兩邊平方化簡．
21．提示：證明MN=13MC即可.
22．D(1,-1)；|AD|=5．提示：設D(x,y)，利用AD⊥BC，BD∥BC,列出方程組求出x,y的值.
