一、知識(shí)概述
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)一些常用的方法來(lái)解決排列組合問(wèn)題，通過(guò)學(xué)習(xí)要能夠應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的規(guī)律解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．通過(guò)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)縝密思維的習(xí)慣和邏輯思維能力，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納及講解
求解排列組合的綜合問(wèn)題，一般是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生連續(xù)性過(guò)程“分步”，在計(jì)數(shù)時(shí)注意不重復(fù)，不遺漏．常見(jiàn)的解題策略有以下幾種：
1、特殊位置（或元素）優(yōu)先安排
例1、將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為（�。�
A、18 B、24 C、30 D、36
解析：
必有一個(gè)班分了兩名學(xué)生，先選兩名學(xué)生分到一個(gè)班且甲、乙兩名學(xué)生不能分到一個(gè)班，有種選法，選好后三組學(xué)生進(jìn)行全排列有種分法，由乘法原理，共有5×6＝30種分法，故選C．
2、合理分類與準(zhǔn)確分步
例2、從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)），每排中字母P、Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）．
解析：
�。�1）每排中只有數(shù)字0的排法有；
（2）每排中只有字母P或Q的排法都有；
（3）每排中無(wú)數(shù)字0，字母P、Q的排法有．
所以不同的排法種數(shù)共有：
．
3、排列、組合混合問(wèn)題先選元（組合）后排列
例3、從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（�。�
A、432 B、288 C、216 D、108
解析：
首先個(gè)位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5，7四個(gè)中選擇一個(gè)有種，再?gòu)氖Ｓ?個(gè)奇數(shù)中選擇一個(gè)，從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中選擇兩個(gè)，進(jìn)行十位，百位，千位三個(gè)位置的全排．則共有個(gè)，故選C．
4、正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化
例4、在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有_____________個(gè)．
解析：
用排除法解決．
�。�1）總的四位數(shù)有；
�。�2）個(gè)位數(shù)字為0的四位數(shù)有；
�。�3）個(gè)位數(shù)字為5的四位數(shù)有．
所以符合條件的四位數(shù)個(gè)數(shù)共有：
．
5、相鄰問(wèn)題捆綁處理
例5、有8本互不相同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外語(yǔ)書2本，其他書3本，將這些書排成一排放在書架上，那么數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外語(yǔ)書也排在一起的排法有多少種？
解析：
將3本數(shù)學(xué)書捆綁成一個(gè)元素，2本外語(yǔ)書也捆綁成一個(gè)元素，連同其他3本書，可以看成5本書的排列，共有種不同的排法．然后再將3本數(shù)學(xué)書與2本外語(yǔ)書分別作全排列有種排法．因此共有種不同的排法．
6、不相鄰問(wèn)題插空處理
例6、用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有________________個(gè)（用數(shù)字作答）．
解析：
此題是捆綁法和插空法的綜合應(yīng)用問(wèn)題．把相鄰的兩個(gè)數(shù)捆成一捆，分成四個(gè)空，然后再將7與8插進(jìn)空中有種插法；而相鄰的三捆都有種排法，再它們之間又有種排序方法．
故這樣的八位數(shù)共有：
�。▊�(gè)）．
7、構(gòu)造模型
例7、6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種方法？
�。�1）一堆一本，一堆兩本，一堆三本；
�。�2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本；
�。�3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；
（4）平均分給甲、乙、丙三人；
（5）平均分成三堆．
解析：
本問(wèn)題中的每一小題都提出了一種類型問(wèn)題，要搞清類型的歸屬．
�。�1）屬非均勻分組問(wèn)題，先在6本書中任取一本，作為一堆，有種取法，再?gòu)挠嘞碌?本書中任取2本作為一堆，有種取法，后余下的3本作為一堆有種取法，故共有分法：（種）．
�。�2）屬非均勻定向分配問(wèn)題，與（1）同解，因每種分組方法僅對(duì)應(yīng)一種分配方法，故也共有分法60種．
�。�3）屬非均勻不定向分配問(wèn)題，由（1）知分成三堆有60種，但每一種分組方法又有種不同的分配方案，故共有分法（種）．
（4）屬均勻定向分配問(wèn)題，3個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來(lái)取書，甲取有種，乙再去取有種，后余下的歸丙有種，故共有（種）．
�。�5）屬均勻分組問(wèn)題，把6本不同的書分成三堆，每堆2本與把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本的區(qū)別在于后者相當(dāng)于把6本不同的書，平均分成三堆后再把分得的三堆書分給甲、乙、丙三個(gè)人，因此設(shè)把6本不同的書平均分成三堆的方法有x種，由（4）知把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本的方法有種．
所以．
則x＝15（種）．
8、隔板法
例8、8個(gè)相同的小球放入四個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)，共有多少種方法？
解析：
將8個(gè)球擺成一列，設(shè)法分成四部分，則每種分法對(duì)應(yīng)一種放法．要想分成四部分，只需用3個(gè)隔板將它們隔開(kāi)．8個(gè)球共有7個(gè)空隙，選其中3個(gè)空隙插隔板，共有種分法，故共有種放法．
9、逆向思考
例9、馬路上有編號(hào)為1，2，……，10的十盞路燈，為節(jié)省用電又不影響照明，要把其中的三盞燈關(guān)閉，但不能關(guān)閉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)閉兩端的．問(wèn)滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？
解析：
若直接求解，不易突破．如果從事件的結(jié)果出發(fā)，假如三盞燈關(guān)閉了，則它們一定夾在亮燈之間，于是茅塞頓開(kāi)．可將此問(wèn)題化歸為插空問(wèn)題：將三個(gè)相同的元素插在七個(gè)給定的元素之間，彼此不相鄰，共有種方法．
