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2014年福建高考數學試題（理）
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復數 的共軛復數 等于（ ）
2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ）
圓柱 圓錐 四面體 三棱柱
3.等差數列 的前 項和 ，若 ，則 ( )
4.若函數 的圖像如右圖所示，則下列函數圖像正確的是學科網（ ）
5.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的 得值等于（ ）
6.直線 與圓 相交于 兩點，則 是“ 的面積為 ”的（ ）
充分而不必要條件 必要而不充分條件
充分必要條件 既不充分又不必要條件
7.已知函數 則下列結論正確的是（ ）
A. 是偶函數 B. 是增函數 C. 是周期函數 D. 的值域為
8.在下列向量組中，可以把向量 表示出來的是（ ）
A. B .
C. D.
9.設 分別為 和橢圓 上的點，則 兩點間的距離是（ ）
A. B. C. D.
10.學科網用 代表紅球， 代表藍球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由 的展開式 表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“ ”表示取出一個紅球，面“ ”用表示把紅球和籃球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是
A. B.
C. D.
二、填空題
11、若變量 滿足約束條件 則 的最小值為________
12、在 中， ,則 等于_________
13、要制作一個容器為4 ，高為 的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）
14.如圖，在邊長為 （ 為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為______.
15.若集合 且下列四個關系：
① ；② ；③ ；④ 有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組 的個數是_________.
三．解答題：本大題共6小題，共80分.
16.（本小題滿分13分）
已知函數 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函數 的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
17.（本小題滿分12分）
在平行四邊形 中， ， .將 沿 折起，使得平面 平面 ，如圖.
（1）求證： ；
（2）若 為 中點，求直線 與平面 所成角的正弦值.
18.（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從
一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧
客所獲的獎勵額.
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望;
（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和
50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵
總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球
的面值給出一個合適的設計，并說明理由.
19.（本小題滿分13分）
已知雙曲線 的兩條漸近線分別為 .
（1）學科網求雙曲線 的離心率；
（2）如圖， 為坐標原點，動直線 分別交直線 于 兩點（ 分別在第一，
四象限），且 的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線 有且只有一個公
共點的雙曲線 ？若存在，求出雙曲線 的方程；若不存在，說明理由。
20. （本小題滿分14分）
已知函數 （ 為常數）的圖像與 軸交于點 ，曲線 在點 處
的切線斜率為-1.
（I）求 的值及函數 的極值；
（II）證明：當 時， ；
（III）證明：對任意給定的正數 ，總存在 ，使得當 ，恒有 .
21. 本題設有（1），（2），（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.
如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題
號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中.
（1）（本小題滿分7分）選修4—2：矩陣與變換
已知矩陣 的逆矩陣 .
（I）求矩陣 ；
（II）求矩陣 的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量.
（2）（本小題滿分7分）選修4—4：極坐標與參數方程
已知直線 的參數方程為 ，（ 為參數），圓 的參數方程為
，（ 為常數）.
（I）求直線 和圓 的普通方程；
（II）學科網若直線 與圓 有公共點，求實數 的取值范圍.
（3）（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選將
已知定義在R上的函數 的最小值為 .
（I）求 的值；
（II）若 為正實數，且 ，求證： .
2014年福建高考數學試題（理）
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復數 的共軛復數 等于（ ）
2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ）
圓柱 圓錐 四面體 三棱柱
3.等差數列 的前 項和 ，若 ，則 ( )
4.若函數 的圖像如右圖所示，則下列函數圖像正確的是學科網（ ）
5.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的 得值等于（ ）
6.直線 與圓 相交于 兩點，則 是“ 的面積為 ”的（ ）
充分而不必要條件 必要而不充分條件
充分必要條件 既不充分又不必要條件
7.已知函數 則下列結論正確的是（ ）
A. 是偶函數 B. 是增函數 C. 是周期函數 D. 的值域為
8.在下列向量組中，可以把向量 表示出來的是（ ）
A. B .
C. D.
9.設 分別為 和橢圓 上的點，則 兩點間的距離是（ ）
A. B. C. D.
10.學科網用 代表紅球， 代表藍球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由 的展開式 表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“ ”表示取出一個紅球，面“ ”用表示把紅球和籃球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是
A. B.
C. D.
二、填空題
11、若變量 滿足約束條件 則 的最小值為________
12、在 中， ,則 等于_________
13、要制作一個容器為4 ，高為 的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）
14.如圖，在邊長為 （ 為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為______.
15.若集合 且下列四個關系：
① ；② ；③ ；④ 有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組 的個數是_________.
三．解答題：本大題共6小題，共80分.
16.（本小題滿分13分）
已知函數 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函數 的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
17.（本小題滿分12分）
在平行四邊形 中， ， .將 沿 折起，使得平面 平面 ，如圖.
（1）求證： ；
（2）若 為 中點，求直線 與平面 所成角的正弦值.
18.（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從
一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧
客所獲的獎勵額.
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望;
（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和
50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵
總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球
的面值給出一個合適的設計，并說明理由.
19.（本小題滿分13分）
已知雙曲線 的兩條漸近線分別為 .
（1）學科網求雙曲線 的離心率；
（2）如圖， 為坐標原點，動直線 分別交直線 于 兩點（ 分別在第一，
四象限），且 的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線 有且只有一個公
共點的雙曲線 ？若存在，求出雙曲線 的方程；若不存在，說明理由。
20. （本小題滿分14分）
已知函數 （ 為常數）的圖像與 軸交于點 ，曲線 在點 處
的切線斜率為-1.
（I）求 的值及函數 的極值；
（II）證明：當 時， ；
（III）證明：對任意給定的正數 ，總存在 ，使得當 ，恒有 .
21. 本題設有（1），（2），（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.
如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題
號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中.
（1）（本小題滿分7分）選修4—2：矩陣與變換
已知矩陣 的逆矩陣 .
（I）求矩陣 ；
（II）求矩陣 的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量.
（2）（本小題滿分7分）選修4—4：極坐標與參數方程
已知直線 的參數方程為 ，（ 為參數），圓 的參數方程為
，（ 為常數）.
（I）求直線 和圓 的普通方程；
（II）學科網若直線 與圓 有公共點，求實數 的取值范圍.
（3）（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選將
已知定義在R上的函數 的最小值為 .
（I）求 的值；
（II）若 為正實數，且 ，求證： .
