我們先來看下面的問題：
從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。在一天中，火車有2班，汽車有3班。那么一天中，乘坐這些交流工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?
因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有3種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：3+2=5種不同的走法，如下圖所示：
一般的，有如下原理：
分類計(jì)數(shù)原理(也稱加法原理)完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有
N=m1+m2+…+mn
種不同的方法。
再看下面的問題：
從甲地到乙地，要先從甲地乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中，火車有2班，汽車有3班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法?(如下圖。)
這個(gè)問題與前面的問題不同。在前一問題中，采用乘火車或乘汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地，而在這個(gè)問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個(gè)步驟，才能從甲地到乙地。
這里，因?yàn)槌嘶疖囉?種走法，乘汽車有3種走法，所以乘一次火車再接著乘一次汽車從甲地到乙地，共有2×3=6種不同的走法。
所有走法
火車1──汽車1
火車1──汽車2
火車1──汽車3
火車2──汽車1
火車2──汽車2
火車2──汽車3
一般的，有如下原理：
分步計(jì)數(shù)原理(也稱乘法原理)完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有
N=m1×m2×…×mn
種不同的方法。
例書架的第1層放有4本不同的科技書，第2層放有3本不同的漫畫書，第3層放有2本不同的文學(xué)書。
(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?
(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法?
解：(1)從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本科技書，有4種方法;第2類辦法是從第2層取1本漫畫書，有3種方法;第3類辦法是從第3層取1本文學(xué)書，有2種方法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是
N=m1+m2+m3=4+3+2=9
答：從書架上任取1本書，有9種不同的取法。
(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步從第1層取1本科技書，有4種方法;第2步從第2層取1本漫畫書，有3種方法;第3步從第3層取1本文學(xué)書，有2種方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是
N=m1×m2×m3=4×3×2=24
答：從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法。
分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題。區(qū)別在于：分類計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題，各步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事。
