先看一個(gè)游戲：有n+1個(gè)空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙兩人交替移動(dòng)棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者為勝.問(wèn)是先走者勝還是后走者勝?應(yīng)該怎樣走才能取勝?
取勝之道是：你只要設(shè)法使余下的空格數(shù)是4的倍數(shù)，以后你的對(duì)手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格.最后只剩4個(gè)空格時(shí)，你的對(duì)手就必輸無(wú)疑了.因此，若n除以4的余數(shù)是1，2或3時(shí)，那么先走者甲勝;若n除以4的余數(shù)是0的話，那么后走者乙勝.
在這個(gè)游戲里，我們可以看出，有時(shí)我們不必去關(guān)心一個(gè)數(shù)是多少，而要關(guān)心這個(gè)數(shù)用m除后的余數(shù)是什么.又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52+1，所以2000年的元旦是星期六.這里我們關(guān)心的也是余數(shù).這一講中，我們將介紹同余的概念、性質(zhì)及一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.
同余，顧名思義，就是余數(shù)相同.
定義1 給定一個(gè)正整數(shù)m，如果用m去除a，b所得的余數(shù)相同，則稱a與b對(duì)模m同余，記作
a≡b(modm)，
并讀作a同余b，模m.
若a與b對(duì)模m同余，由定義1，有
a=mq1+r，b=mq2+r.
所以 a-b=m(q1-q2)，
即 m|a-b.
反之，若m|a-b，設(shè)
a=mq1+r1，b=mq2+r2，0≤r1，r2≤m-1，
則有m|r1-r2.因|r1-r2|≤m-1，故r1-r2=0，即r1=r2.
于是，我們得到同余的另一個(gè)等價(jià)定義：
定義2 若a與b是兩個(gè)整數(shù)，并且它們的差a-b能被一正整數(shù)m整除，那么，就稱a與b對(duì)模m同余.
同余式的寫(xiě)法，使我們聯(lián)想起等式.其實(shí)同余式和代數(shù)等式有一些相同的性質(zhì)，最簡(jiǎn)單的就是下面的定理1.
定理1 (1)a≡a(modm).
(2) 若a≡b(modm)，則b≡a(modm).
(3) 若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm).
在代數(shù)中，等式可以相加、相減和相乘，同樣的規(guī)則對(duì)同余式也成立.
定理2 若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則
a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm).