第一章 一元二次方程
概述——形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程稱為一元二次方程，使等式成立的實(shí)數(shù)稱為此方程的實(shí)數(shù)根。
1、含字母系數(shù)的一元二次方程：
解決含字母系數(shù)的一元二次方程的問題，經(jīng)常需要對(duì)該方程的根進(jìn)行分析、處理。 常用方法有：（1）利用解的定義，整體代入法，從而達(dá)到將高次方程降次的目的或其他；（2）從兩個(gè)方程的公共實(shí)根出發(fā)，先確定該公共實(shí)根的值，再求各系數(shù)；（3）解決整數(shù)根常用方法有：①利用韋達(dá)定理，再拆分，然后驗(yàn)根；②含字母系數(shù)的一元二次方程，常可利用因式分解法求根，再雙重檢驗(yàn)（驗(yàn)△，驗(yàn)整數(shù)根條件）；③利用△縮小字母系數(shù)的范圍，再驗(yàn)根進(jìn)行取舍。（4
）利用不等式的性質(zhì)（如x+y≥；（5）求出方程解，再消去未知系數(shù)，求不定方程的解，再帶回求參數(shù)的方法；（6）利用韋達(dá)定理，再消參數(shù)法；（7）參數(shù)交換法（即把字母系數(shù)與未知數(shù)的地位互換時(shí)，所得方程與原方程完全一樣，從而將一個(gè)較弱的條件得以加強(qiáng)，從而使問題的本質(zhì)浮出水面）等。
2、根的判別式與韋達(dá)定理：
概述——一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)解的條件是∆=b2-4ac≥0，設(shè)x1,x2為此方程的兩個(gè)根，則根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：
x1+x2=-
x1x2=caba
3、可化為一元二次方程的方程（組）
概述——我們總是將方程的求解問題利用代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為一次方程或一元二次方程來(lái)處理，這是化規(guī)思想在方程理論中的基本運(yùn)用。實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的方法是多種多樣的，換元法是其中最常用的方法。具體到各個(gè)問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活處理。
常見題型的常用處理辦法：（1）一般代數(shù)三次方程盡管有求根公式，但中學(xué)階段不會(huì)出現(xiàn)需用到求根公式才能處理的三次方程，給出的三次方程，往往容易看出其中的一個(gè)根，再由因式定理轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)一元二次方程。（2）利用換元法達(dá)到降次的目的；（3）拆、添項(xiàng)因式分解求解；（4）處理系數(shù)對(duì)稱的高次方程，常用下題的解法（如解方程2x+3x-16x+3x+2=0。變形得到：2(x+43221
x)+3(x+21x)-16=0，進(jìn)而得到：
121⎡⎤（5）參數(shù)交換法；（6）利用一2⎢(x+)-2⎥+3(x+)-16=0，然后再換元求解即可）xx⎣⎦
元二次方程根的判別式，構(gòu)造一元二次方程解題（如：已知x、y為有理數(shù)，且
5522x+y=2xy。證明1－xy時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。證明：若x、y中有一個(gè)為0，則1－
x2y2xxy＝1時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。若xy≠0，兩邊除以x2y2，得：令t＝()2，x()+y()=2。yxy
由x、y為有理數(shù)，可知關(guān)于t的一元二次方程：xt2-2t+y=0有有理根。而上述方程的系數(shù)均為有理數(shù)，故△＝4－4xy＝4（1－xy）是一個(gè)有理數(shù)的平方。所以，1－xy是一個(gè)有理數(shù)的平方。）
4、整系數(shù)一元二次方程：
一般地，若整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則該方程的根的判別式是一個(gè)完全平方數(shù)。這一性質(zhì)在處理一元二次方程的整數(shù)根問題時(shí)經(jīng)常被用到。
常用方法有：（1）利用韋達(dá)定理拆分，再利用數(shù)論方法與技巧；（2）利用整數(shù)理論來(lái)處理整系數(shù)一元二次方程的整數(shù)根（如a，b模m同余等）問題是不易考慮到的想法，解題中往往能出奇制勝；（3）利用判別式處理（即如利用△＝(2k+1)2-40=m2【為完全平方數(shù)】，再利用平方差展開和整系數(shù)進(jìn)而求解。）（4）利用函數(shù)圖像方法。
5、勾股數(shù)與完全平方數(shù)：
稱滿足不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)數(shù)組（x,y,z）為勾股數(shù)組（國(guó)際上，一般稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)組）。勾股數(shù)組有許多有趣的性質(zhì)，例如，若（x，y，z）為勾股數(shù)組，則x、y、z中有一個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)；有一個(gè)數(shù)為4的倍數(shù)；也有一個(gè)數(shù)為5的倍數(shù)。
完全平方數(shù)是一類重要的自然數(shù)，競(jìng)賽中許多問題要用到完全平方數(shù)的性質(zhì)。
說明：（1）如果兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)之積是一個(gè)完全平方數(shù)，則這兩個(gè)自然數(shù)都是完全平方數(shù)。
（2）如果正整數(shù)x可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，則2x也可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和。（如x=u+v，2x=2u+2v=(u+v)+(u-v)。于是2x可表示為兩個(gè)整數(shù)u+v和u-v的平方和。
（3）相鄰兩個(gè)完全平方數(shù)之間的自然數(shù)都不是完全平方數(shù)。
（4）在勾股三角形中，周長(zhǎng)為面積的整數(shù)倍的三角形，可以用勾股數(shù)組來(lái)試探，這一過程是發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)性質(zhì)的一般嘗試方法。
第二章 函數(shù)
1、函數(shù)及其圖像：
某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于x在某個(gè)范圍D內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，記作y=f(x)，x∈D（為方便，這里沿用集合的記號(hào)，x∈D，讀作x屬于D，表示x在范圍D內(nèi)變換，或x是集合D的元素）。X的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域，和x的值相應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的全體構(gòu)成的集合叫做函數(shù)的值域。
要求會(huì)用函數(shù)解方程組問題，判斷圖像題，求方程的解的題。
2、一元二次不等式的解與一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布：
我們把形如ax2+bx+c〉0，ax2+bx+c〈0（a≠0）的不等式叫做一元二次不等式。要會(huì)二次函數(shù)的圖像來(lái)解一元二次不等式。
對(duì)于ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為x1、x2（x1＜x2，記f(x)＝ax2+bx+c，則不等式ax2+bx+c〉0（或ax2+bx+c〈0）的解就是y=f(x)的圖像在x軸上方（或x軸下方）所對(duì)應(yīng)的x的全體；
若a＞0，△＞0，則ax2+bx+c〉0的解集為x〈x1或x〉x2； ax2+bx+0c〈的解集為x1〈x〈x2。 若a＞0，△＝0，則ax2+bx+c〉0的解集為x≠-
b2a
的全體實(shí)數(shù)；
ax2+bx+0c〈的解集為空集； 若a＞0，△＜0，則ax2+bx+c〉0的解集為全體實(shí)數(shù)； ax2+bx+0c〈的解集為空集； 此類題要求會(huì)用二次函數(shù)圖像的方法解題。
概述——形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程稱為一元二次方程，使等式成立的實(shí)數(shù)稱為此方程的實(shí)數(shù)根。
1、含字母系數(shù)的一元二次方程：
解決含字母系數(shù)的一元二次方程的問題，經(jīng)常需要對(duì)該方程的根進(jìn)行分析、處理。 常用方法有：（1）利用解的定義，整體代入法，從而達(dá)到將高次方程降次的目的或其他；（2）從兩個(gè)方程的公共實(shí)根出發(fā)，先確定該公共實(shí)根的值，再求各系數(shù)；（3）解決整數(shù)根常用方法有：①利用韋達(dá)定理，再拆分，然后驗(yàn)根；②含字母系數(shù)的一元二次方程，常可利用因式分解法求根，再雙重檢驗(yàn)（驗(yàn)△，驗(yàn)整數(shù)根條件）；③利用△縮小字母系數(shù)的范圍，再驗(yàn)根進(jìn)行取舍。（4
）利用不等式的性質(zhì)（如x+y≥；（5）求出方程解，再消去未知系數(shù)，求不定方程的解，再帶回求參數(shù)的方法；（6）利用韋達(dá)定理，再消參數(shù)法；（7）參數(shù)交換法（即把字母系數(shù)與未知數(shù)的地位互換時(shí)，所得方程與原方程完全一樣，從而將一個(gè)較弱的條件得以加強(qiáng)，從而使問題的本質(zhì)浮出水面）等。
2、根的判別式與韋達(dá)定理：
概述——一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)解的條件是∆=b2-4ac≥0，設(shè)x1,x2為此方程的兩個(gè)根，則根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：
x1+x2=-
x1x2=caba
3、可化為一元二次方程的方程（組）
概述——我們總是將方程的求解問題利用代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為一次方程或一元二次方程來(lái)處理，這是化規(guī)思想在方程理論中的基本運(yùn)用。實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的方法是多種多樣的，換元法是其中最常用的方法。具體到各個(gè)問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活處理。
常見題型的常用處理辦法：（1）一般代數(shù)三次方程盡管有求根公式，但中學(xué)階段不會(huì)出現(xiàn)需用到求根公式才能處理的三次方程，給出的三次方程，往往容易看出其中的一個(gè)根，再由因式定理轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)一元二次方程。（2）利用換元法達(dá)到降次的目的；（3）拆、添項(xiàng)因式分解求解；（4）處理系數(shù)對(duì)稱的高次方程，常用下題的解法（如解方程2x+3x-16x+3x+2=0。變形得到：2(x+43221
x)+3(x+21x)-16=0，進(jìn)而得到：
121⎡⎤（5）參數(shù)交換法；（6）利用一2⎢(x+)-2⎥+3(x+)-16=0，然后再換元求解即可）xx⎣⎦
元二次方程根的判別式，構(gòu)造一元二次方程解題（如：已知x、y為有理數(shù)，且
5522x+y=2xy。證明1－xy時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。證明：若x、y中有一個(gè)為0，則1－
x2y2xxy＝1時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。若xy≠0，兩邊除以x2y2，得：令t＝()2，x()+y()=2。yxy
由x、y為有理數(shù)，可知關(guān)于t的一元二次方程：xt2-2t+y=0有有理根。而上述方程的系數(shù)均為有理數(shù)，故△＝4－4xy＝4（1－xy）是一個(gè)有理數(shù)的平方。所以，1－xy是一個(gè)有理數(shù)的平方。）
4、整系數(shù)一元二次方程：
一般地，若整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則該方程的根的判別式是一個(gè)完全平方數(shù)。這一性質(zhì)在處理一元二次方程的整數(shù)根問題時(shí)經(jīng)常被用到。
常用方法有：（1）利用韋達(dá)定理拆分，再利用數(shù)論方法與技巧；（2）利用整數(shù)理論來(lái)處理整系數(shù)一元二次方程的整數(shù)根（如a，b模m同余等）問題是不易考慮到的想法，解題中往往能出奇制勝；（3）利用判別式處理（即如利用△＝(2k+1)2-40=m2【為完全平方數(shù)】，再利用平方差展開和整系數(shù)進(jìn)而求解。）（4）利用函數(shù)圖像方法。
5、勾股數(shù)與完全平方數(shù)：
稱滿足不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)數(shù)組（x,y,z）為勾股數(shù)組（國(guó)際上，一般稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)組）。勾股數(shù)組有許多有趣的性質(zhì)，例如，若（x，y，z）為勾股數(shù)組，則x、y、z中有一個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)；有一個(gè)數(shù)為4的倍數(shù)；也有一個(gè)數(shù)為5的倍數(shù)。
完全平方數(shù)是一類重要的自然數(shù)，競(jìng)賽中許多問題要用到完全平方數(shù)的性質(zhì)。
說明：（1）如果兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)之積是一個(gè)完全平方數(shù)，則這兩個(gè)自然數(shù)都是完全平方數(shù)。
（2）如果正整數(shù)x可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，則2x也可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和。（如x=u+v，2x=2u+2v=(u+v)+(u-v)。于是2x可表示為兩個(gè)整數(shù)u+v和u-v的平方和。
（3）相鄰兩個(gè)完全平方數(shù)之間的自然數(shù)都不是完全平方數(shù)。
（4）在勾股三角形中，周長(zhǎng)為面積的整數(shù)倍的三角形，可以用勾股數(shù)組來(lái)試探，這一過程是發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)性質(zhì)的一般嘗試方法。
第二章 函數(shù)
1、函數(shù)及其圖像：
某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于x在某個(gè)范圍D內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，記作y=f(x)，x∈D（為方便，這里沿用集合的記號(hào)，x∈D，讀作x屬于D，表示x在范圍D內(nèi)變換，或x是集合D的元素）。X的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域，和x的值相應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的全體構(gòu)成的集合叫做函數(shù)的值域。
要求會(huì)用函數(shù)解方程組問題，判斷圖像題，求方程的解的題。
2、一元二次不等式的解與一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布：
我們把形如ax2+bx+c〉0，ax2+bx+c〈0（a≠0）的不等式叫做一元二次不等式。要會(huì)二次函數(shù)的圖像來(lái)解一元二次不等式。
對(duì)于ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為x1、x2（x1＜x2，記f(x)＝ax2+bx+c，則不等式ax2+bx+c〉0（或ax2+bx+c〈0）的解就是y=f(x)的圖像在x軸上方（或x軸下方）所對(duì)應(yīng)的x的全體；
若a＞0，△＞0，則ax2+bx+c〉0的解集為x〈x1或x〉x2； ax2+bx+0c〈的解集為x1〈x〈x2。 若a＞0，△＝0，則ax2+bx+c〉0的解集為x≠-
b2a
的全體實(shí)數(shù)；
ax2+bx+0c〈的解集為空集； 若a＞0，△＜0，則ax2+bx+c〉0的解集為全體實(shí)數(shù)； ax2+bx+0c〈的解集為空集； 此類題要求會(huì)用二次函數(shù)圖像的方法解題。
