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　　希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道如何用尺規(guī)作出正2m×3n×5p邊形，其中m是正整數(shù)，而n和p只能是0或1.但是對于正七、九、十一邊形的尺規(guī)作圖法，兩千年來都沒有人知道。而高斯證明了：一個(gè)正n邊形可以尺規(guī)作圖若且唯若n是以下兩種形式之一：1、n=2k,k=2,3,…2、n=2k×（幾個(gè)不同「費(fèi)馬質(zhì)數(shù)」的乘積）,k=0,1,2,…費(fèi)馬質(zhì)數(shù)是形如fk=22k的質(zhì)數(shù)。像f0=3,f1=5,f2=17,f3=257,f4=65537,都是質(zhì)數(shù)。高斯用代數(shù)的方法解決二千多年來的幾何難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因?yàn)樨?fù)責(zé)刻碑的雕刻家認(rèn)為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。1799年高斯提出了他的博士論文，這論文證明了代數(shù)一個(gè)重要的定理：任一多項(xiàng)式都有（復(fù)數(shù)）根。這結(jié)果稱為「代數(shù)學(xué)基本定理」（fundamentaltheoremofalgebra）.事實(shí)上在高斯之前有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為已給出了這個(gè)結(jié)果的證明，可是沒有一個(gè)證明是嚴(yán)密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來，然后提出自己的見解，他一生中一共給出了四個(gè)不同的證明。