一、選擇題（每題1分，共10分）
1．如果a，b都代表有理數(shù)，并且a＋b=0，那么()
A．a(chǎn)，b都是0
B．a(chǎn)，b之一是0
C．a(chǎn)，b互為相反數(shù)
D．a(chǎn)，b互為倒數(shù)
答案：C
解析：令a=2，b=－2，滿足2+(－2)=0，由此a、b互為相反數(shù)。
2．下面的說(shuō)法中正確的是()
A．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式
B．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式
C．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式
D．整式與整式的和是整式
答案：D
解析：x2，x3都是單項(xiàng)式．兩個(gè)單項(xiàng)式x3，x2之和為x3+x2是多項(xiàng)式，排除A。兩個(gè)單項(xiàng)式x2，2x2之和為3x2是單項(xiàng)式，排除B。兩個(gè)多項(xiàng)式x3+x2與x3－x2之和為2x3是個(gè)單項(xiàng)式，排除C，因此選D。
3．下面說(shuō)法中不正確的是()
A.有最小的自然數(shù)
B．沒(méi)有最小的正有理數(shù)
C．沒(méi)有的負(fù)整數(shù)
D．沒(méi)有的非負(fù)數(shù)
答案：C
解析：的負(fù)整數(shù)是-1，故C錯(cuò)誤。
4．如果a，b代表有理數(shù)，并且a＋b的值大于a－b的值，那么()
A．a(chǎn)，b同號(hào)
B．a(chǎn)，b異號(hào)
C．a(chǎn)＞0
D．b＞0
答案：D
5．大于－π并且不是自然數(shù)的整數(shù)有()
A．2個(gè)
B．3個(gè)
C．4個(gè)
D．無(wú)數(shù)個(gè)
答案：C
解析：在數(shù)軸上容易看出：在－π右邊0的左邊（包括0在內(nèi)）的整數(shù)只有－3，－2，
�。�1，0共4個(gè)．選C。
6．有四種說(shuō)法：
甲．正數(shù)的平方不一定大于它本身；
乙．正數(shù)的立方不一定大于它本身；
丙．負(fù)數(shù)的平方不一定大于它本身；
�。�(fù)數(shù)的立方不一定大于它本身。
這四種說(shuō)法中，不正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()
A．0個(gè)
B．1個(gè)
C．2個(gè)
D．3個(gè)
答案：B
解析：負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，所以一定大于它本身，故丙錯(cuò)誤。
7．a(chǎn)代表有理數(shù)，那么，a和－a的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)大于－a
B．a(chǎn)小于－a
C．a(chǎn)大于－a或a小于－a
D．a(chǎn)不一定大于－a
答案：D
解析：令a=0，馬上可以排除A、B、C，應(yīng)選D。
8．在解方程的過(guò)程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊()
A．乘以同一個(gè)數(shù)
B．乘以同一個(gè)整式
C．加上同一個(gè)代數(shù)式
D．都加上1
答案：D
解析：對(duì)方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù)，所以排除A。我們考察方程x－2=0，易知其根為x=2．若該方程兩邊同乘以一個(gè)整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根為x=1及x=2，不與原方程同解，排除B。同理應(yīng)排除C．事實(shí)上方程兩邊同時(shí)加上一個(gè)常數(shù)，新方程與原方程同解，對(duì)D，這里所加常數(shù)為1，因此選D．
9．杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%，第三天又較第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結(jié)果是()
A．一樣多
B．多了
C．少了
D．多少都可能
答案：C
解析：設(shè)杯中原有水量為a，依題意可得，
第二天杯中水量為a×(1－10%)=0.9a；
第三天杯中水量為(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；
第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為0.99∶1，
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C。
10．輪船往返于一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那么，當(dāng)這條河的水流速度增大時(shí)，船往返一次所用的時(shí)間將()
A．增多
B．減少
C．不變D．增多、減少都有可能
答案：A
二、填空題（每題1分，共10分）
1．198919902－198919892=______。
答案：198919902－198919892
=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)
=(19891990+19891989)×1=39783979。
解析：利用公式a2-b2=（a+b）(a-b)計(jì)算。
2．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______。
答案：1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000
=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)
=－2500。
解析：本題運(yùn)用了運(yùn)算當(dāng)中的結(jié)合律。
3．當(dāng)a=－0.2，b=0.04時(shí)，代數(shù)式a2-b的值是______。
答案：0
解析：原式==(－0.2)2－0.04=0。把已知條件代入代數(shù)式計(jì)算即可。
4．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40%時(shí)，秤得鹽水的重是______千克。
答案：45（千克）
解析：食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60×30%（千克），
設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40%的水重x克，
即60×30%=40%x
解得：x=45（千克）。
遇到這一類(lèi)問(wèn)題，我們要找不變量，本題中鹽的含量是一個(gè)不變量，通過(guò)它列出等式進(jìn)行計(jì)算。
三、解答題
1.甲乙兩人每年收入相等，甲每年儲(chǔ)蓄全年收入的，乙每月比甲多開(kāi)支100元，三年后負(fù)債600元，求每人每年收入多少？
答案：解：設(shè)每人每年收入x元，甲每年開(kāi)支4/5x元，依題意有：
3（4/5x+1200）=3x+600
即(3-12/5)x=3600-600
解得，x=5000
答：每人每年收入5000元
所以S的末四位數(shù)字的和為1＋9＋9＋5=24。
4．一個(gè)人以3千米/小時(shí)的速度上坡，以6千米/小時(shí)的速度下坡，行程12千米共用了3小時(shí)20分鐘，試求上坡與下坡的路程。
答案：設(shè)上坡路程為x千米，下坡路程為y千米．依題意則：
由②有2x+y=20，③
由①有y=12-x，將之代入③得2x+12-x=20。
所以x=8(千米)，于是y=4(千米)。
答：上坡路程為8千米，下坡路程為4千米。
5．求和：
。
答案：第n項(xiàng)為
所以
。
6．證明：質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù)。
證明：設(shè)p=30q＋r，0≤r＜30，
因?yàn)閜為質(zhì)數(shù)，故r≠0，即0＜r＜30。
假設(shè)r為合數(shù)，由于r＜30，所以r的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2，3，5。
再由p=30q＋r知，當(dāng)r的最小質(zhì)約數(shù)為2，3，5時(shí)，p不是質(zhì)數(shù)，矛盾。
所以，r一定不是合數(shù)。
解：設(shè)
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)。
可知m＜4．由①，m＞0，且為整數(shù)，所以m=1，2，3．下面分別研究p，q。
(1)若m=1時(shí)，有
解得p=1，q=1，與已知不符，舍去．
(2)若m=2時(shí)，有
因?yàn)?p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時(shí)無(wú)解．
(3)若m=3時(shí)，有
解之得
故p＋q=8。
初中奧數(shù)題試題二
一、選擇題
1．?dāng)?shù)1是()
A．最小整數(shù)
B．最小正數(shù)
C．最小自然數(shù)
D．最小有理數(shù)
答案：C
解析：整數(shù)無(wú)最小數(shù)，排除A；正數(shù)無(wú)最小數(shù)，排除B；有理數(shù)無(wú)最小數(shù)，排除D。1是最小自然數(shù)，正確，故選C。
2.a為有理數(shù)，則一定成立的關(guān)系式是()
A．7a＞a
B．7+a＞a
C．7+a＞7
D．|a|≥7
答案：B
解析：若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C；|0|＜7排除D，事實(shí)上因?yàn)?＞0，必有7+a＞0+a=a．選B。
3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是()
A．6.1632
B．6.2832
C．6.5132
D．5.3692
答案：B
解析：3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)
=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416
=6.2832，選B。
4.在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個(gè)數(shù)中，的數(shù)與絕對(duì)值的那個(gè)數(shù)的乘積是()
A．225
B．0.15
C．0.0001
D．1
答案：B
解析：-4，-1，-2.5，-0.01與-15中的數(shù)是-0.01，絕對(duì)值的數(shù)是-15，(-0.01)×(-15)=0.15，選B。
二、填空題
1．計(jì)算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。
答案：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1。
2.求值：(-1991)-|3-|-31||=______。
答案：(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。
3.n為正整數(shù)，1990n-1991的末四位數(shù)字由千位、百位、十位、個(gè)位、依次排列組成的四位數(shù)是8009。則n的最小值等于______。
答案：4
解析：1990n的末四位數(shù)字應(yīng)為1991+8009的末四位數(shù)字．即為0000，即1990n末位至少要4個(gè)0，所以n的最小值為4。
4.不超過(guò)(-1.7)2的整數(shù)是______。
答案：2
解析：(-1.7)2=2.89，不超過(guò)2.89的整數(shù)為2。
5.一個(gè)質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7，則這個(gè)質(zhì)數(shù)是______。
答案：29
解析：個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18，29，其中只有29是質(zhì)數(shù)。
三、解答題
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。
答案：原式
=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x×1＋3×1-2x+2000=2003。
2．某商店出售的一種商品，每天賣(mài)出100件，每件可獲利4元，現(xiàn)在他們采用提高售價(jià)、減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這種商品每漲價(jià)1元，每天就少賣(mài)出10件。試問(wèn)將每件商品提價(jià)多少元，才能獲得利潤(rùn)？利潤(rùn)是多少元？
答案：原來(lái)每天可獲利4×100元，若每件提價(jià)x元，則每件商品獲利(4＋x)元，但每天賣(mài)出為(100-10x)件。
如果設(shè)每天獲利為y元，
則y＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)2＋490。
所以當(dāng)x=3時(shí)，y=490元，即每件提價(jià)3元，每天獲利為490元。
3．如圖1－96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°。求證：DA⊥AB。
證明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°，
∴∠ADC＋∠BCD=180°，
∴AD∥BC。
又∵AB⊥BC，
∴AB⊥AD。
4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整數(shù)解。
答案：｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2。
因?yàn)椋黿｜＋1＞0，且x，y都是整數(shù)，所以
5.王平買(mǎi)了年利率7.11％的三年期和年利率為7.86％的五年期國(guó)庫(kù)券共35000元，若三年期國(guó)庫(kù)券到期后，把本息再連續(xù)存兩個(gè)一年期的定期儲(chǔ)蓄，五年后與五年期國(guó)庫(kù)券的本息總和為47761元，問(wèn)王平買(mǎi)三年期與五年期國(guó)庫(kù)券各多少？(一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為5.22％)
答案：設(shè)設(shè)王平買(mǎi)三年期和五年期國(guó)庫(kù)券分別為x元和y元，則
因?yàn)閥=35000-x，
所以x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以0.0497x=994，
所以x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。
6.對(duì)k，m的哪些值，方程組至少有一組解？
答案：因?yàn)?k－1)x＝m-4，①
m為一切實(shí)數(shù)時(shí)，方程組有解．當(dāng)k=1，m=4時(shí)，①的解為一切實(shí)數(shù)，所以方程組有無(wú)窮多組解。
當(dāng)k=1，m≠4時(shí)，①無(wú)解。
所以，k≠1，m為任何實(shí)數(shù)，或k=1，m=4時(shí)，方程組至少有一組解。
初中奧數(shù)題試題三
一、選擇題
1.下面給出的四對(duì)單項(xiàng)式中，是同類(lèi)項(xiàng)的一對(duì)是()
A.x2y與-3x2z
B.3.22m2n3與n3m2
C.0.2a2b與0.2ab2
D.11abc與ab
答案：B
解析：字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的兩個(gè)式子叫同類(lèi)項(xiàng)。
2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()
A．3x-3
B．x-1
C．3x-1
D．x-3
答案：C
解析：(x-1)-(1-x)+(x+1)
=x-1-1+x+x+1=3x-1，選C。
3.兩個(gè)10次多項(xiàng)式的和是()
A．20次多項(xiàng)式
B．10次多項(xiàng)式
C．100次多項(xiàng)式
D．不高于10次的多項(xiàng)式
答案：D
解析：多項(xiàng)式x10+x與-x10+x2之和為x2+x是個(gè)次數(shù)低于10次的多項(xiàng)式，因此排除了A、B、C，選D。
4.若a+1＜0，則在下列每組四個(gè)數(shù)中，按從小到大的順序排列的一組是()
A．a(chǎn)，-1，1，-a
B．-a，-1，1，a
C．-1，-a，a，1
D．-1，a，1，-a
答案：A
解析：由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1。于是由小到大的排列次序應(yīng)是a＜-1＜1＜-a，選A。
5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，則()
A．c＞b＞a
B．c＞a＞b
C．a(chǎn)＞b＞c
D．b＞c＞a
答案：B
解析：易見(jiàn)a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，選B。
6．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中結(jié)果是正數(shù)的是()
A．(a-b)(ab+a)
B．(a+b)(a-b)
C．(a+b)(ab+a)
D．(ab-b)(a+b)
答案：A
因?yàn)閍＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0。ab+a＜0，ab-b＜0。所以應(yīng)有(a-b)(ab+a)＞0成立，選A。
7．從2a+5b減去4a-4b的一半，應(yīng)當(dāng)?shù)玫?)
A．4a-b
B．b-a
C．a(chǎn)-9b
D．7b
答案：D
解析：=2a+5b-2a+2b=7b，選D。
8．a(chǎn)，b，c，m都是有理數(shù)，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b與c()
A．互為相反數(shù)
B．互為倒數(shù)
C．互為負(fù)倒數(shù)
D．相等
答案：A
解析：因?yàn)閍+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互為相反數(shù)，選A。
9．張梅寫(xiě)出了五個(gè)有理數(shù)，前三個(gè)有理數(shù)的平均值為15，后兩個(gè)有理數(shù)的平均值是10，那么張梅寫(xiě)出的五個(gè)有理數(shù)的平均值是()
A.5
B.8
C.12
D.13
答案：D
解析：前三個(gè)數(shù)之和=15×3，后兩個(gè)數(shù)之和=10×2。所以五個(gè)有理數(shù)的平均數(shù)為（45+20）÷5=13，選D。
二、填空題（每題1分，共10分）
1．2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______。
答案：29
解析：前12個(gè)數(shù)，每四個(gè)一組，每組之和都是0．所以總和為14+15=29。
2.若P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，則代入到代數(shù)式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化簡(jiǎn)后，是______。
答案：12ab。
解析：因?yàn)镻-[Q-2P-(-P-Q)]
=P-Q+2P+(-P-Q)
=P-Q+2P-P-Q
=2P-2Q=2(P-Q)
以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，
原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)]
=2(6ab)=12ab。
3．小華寫(xiě)出四個(gè)有理數(shù)，其中每三數(shù)之和分別為2，17，-1，-3，那么小華寫(xiě)出的四個(gè)有理數(shù)的乘積等于______。
答案：-1728。
解析：設(shè)這四個(gè)有理數(shù)為a、b、c、d，則
有3（a+b+c+d）=15，即a+b+c+d=5。
分別減去每三數(shù)之和后可得這四個(gè)有理數(shù)依次為3，-12，6，8，所以，這四個(gè)有理數(shù)的乘積=3×(-12)×6×8=-1728。
4．一種小麥磨成面粉后，重量要減少15%，為了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麥。
答案：5000
解析：設(shè)需要x公斤的小麥，則有
x（x-15％）=4250
x=5000
三、解答題
答案：原式化簡(jiǎn)得6(a-1)x=3-6b+4ab，當(dāng)a≠1時(shí)，
答案：
3.液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時(shí)農(nóng)藥的濃度為72％，求桶的容量。
答案：
去分母、化簡(jiǎn)得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，
4.6．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．求：P到△ABC三頂點(diǎn)的距離和與三角形周長(zhǎng)之比的取值范圍。
答案：
如圖1－105所示。在△PBC中有BC＜PB＋PC，①
延長(zhǎng)BP交AC于D．易證PB＋PC＜AB＋AC，②
由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③
同理AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④
AB＜PA＋PB＜AC＋AB。⑤
�、郏埽莸肁B＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)。
所以。
5.甲乙兩人同時(shí)從東西兩站相向步行，相會(huì)時(shí)，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過(guò)9小時(shí)到東站，乙經(jīng)過(guò)16小時(shí)到西站，求兩站距離。
答案：設(shè)甲步行速度為x千米/小時(shí)，乙步行速度為y千米/小時(shí)，則所求距離為(9x+16y)千米；
依題意得：
由①得16y2=9x2，③
由②得16y=24＋9x，將之代入③得
即(24＋9x)2=(12x)2．解之得
于是
所以?xún)烧揪嚯x為9×8＋16×6=168(千米)。
