1.數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前 項(xiàng)和公式的關(guān)系： (必要時(shí)請(qǐng)分類(lèi)討論).

注意： ; .

2.等差數(shù)列 中：

(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

(2) ; .

(3) 、 也成等差數(shù)列.

(4)兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

(5) 仍成等差數(shù)列.

(8)“首正”的遞等差數(shù)列中，前 項(xiàng)和的值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和;

(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”-“奇數(shù)項(xiàng)和”=總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的積;若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”-“偶數(shù)項(xiàng)和”=此數(shù)列的中項(xiàng).

(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，�？紤]選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法(也就是說(shuō)數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數(shù)列 中：

(1)等比數(shù)列的符號(hào)特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性.

(3) 、 、 成等比數(shù)列; 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列.

(4)兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前 項(xiàng)積的值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積;“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前 項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積;

(9)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”與“公比”的積;若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”=“首項(xiàng)”加上“公比”與“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和.

(10)并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù) 同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù) 存在等比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù) 的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì) .也就是說(shuō)，兩實(shí)數(shù)要么沒(méi)有等比中項(xiàng)(非同號(hào)時(shí))，如果有，必有一對(duì)(同號(hào)時(shí)).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法(也就是說(shuō)數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

(1)如果數(shù)列 成等差數(shù)列，那么數(shù)列 ( 總有意義)必成等比數(shù)列.

(2)如果數(shù)列 成等比數(shù)列，那么數(shù)列 必成等差數(shù)列.

(3)如果數(shù)列 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列 是非零常數(shù)數(shù)列;但數(shù)列 是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

(4)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列.

注意：(1)公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究 .但也有少數(shù)問(wèn)題中研究 ，這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同.(2)三(四)個(gè)數(shù)成等差(比)的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式(三種形式)，

②等比數(shù)列求和公式(三種形式)，

(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則�？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法).

(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解(注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”!)(這也是等比數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法之一).

(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分類(lèi)討論.

(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。