1．已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙O內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn)P是△ABC之內(nèi)心.
2. 設(shè)n（≥2）是整數(shù)，證明：
3. 在平面上畫一個(gè)9×9的方格表，每一小方格中任意填入＋1或－ 1．對(duì)任意一個(gè)小方格，將與它有一條公共邊的所有小方格(不包含此格本身)中的數(shù)相乘，于是每取一格，就算出一個(gè)積．在所有小格都取遍后，再將這些積放入相應(yīng)的小方格中，這稱為一次變動(dòng)．是否總可以經(jīng)過有限次變動(dòng)，使得所有小方格中的數(shù)都變?yōu)?？
4. 求出大于1的整數(shù)的個(gè)數(shù)，使得對(duì)任意的整數(shù)，都有

加試模擬訓(xùn)練題（61）
1．已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙O內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn)P是△ABC之內(nèi)心.
(B·波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》)
分析：在第xx屆IMO中，美國(guó)提供的一道題實(shí)際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當(dāng)AB≠AC，怎樣證明呢？
如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q，BC中點(diǎn)K都在∠BAC平分線上.易知AQ=.
∵QK·AQ=MQ·QN，
∴QK=
==.
由Rt△EPQ知PQ=.
∴PK=PQ+QK=+=.
∴PK=BK.
利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是△ABC這內(nèi)心.
2. 設(shè)n（≥2）是整數(shù)，證明：
【題說】1992年日本數(shù)學(xué)奧林匹克題3．
3. 在平面上畫一個(gè)9×9的方格表，每一小方格中任意填入＋1或－ 1．對(duì)任意一個(gè)小方格，將與它有一條公共邊的所有小方格(不包含此格本身)中的數(shù)相乘，于是每取一格，就算出一個(gè)積．在所有小格都取遍后，再將這些積放入相應(yīng)的小方格中，這稱為一次變動(dòng)．是否總可以經(jīng)過有限次變動(dòng)，使得所有小方格中的數(shù)都變?yōu)?？
【題說】 1992年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題3．
【解】答案是否定的．
如圖a(未填數(shù)的空格中填1)經(jīng)一次變換得圖b，再經(jīng)一次變換又恢復(fù)為圖a，反反復(fù)復(fù)，永遠(yuǎn)不能使所有的數(shù)都變成1．

4. 求出大于1的整數(shù)的個(gè)數(shù)，使得對(duì)任意的整數(shù)，都有
解 設(shè)滿足條件的正整數(shù)組成集合S，若，，則，因此S 中全部數(shù)的最小公倍數(shù)也屬于S ，即S中的數(shù)是其余每個(gè)數(shù)的倍數(shù)。，則的約數(shù)也整除，于是只需確定數(shù)，其一切大于1的約數(shù)組成集合S。
，并且，由費(fèi)馬小定理，易證，所以，集合S共有31個(gè)元素。