教學(xué)設(shè)計(jì)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力．
在初中學(xué)習(xí)過關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有著密切的聯(lián)系；這里的一個(gè)重要問題是：是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示．也就是如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．在學(xué)法上主要指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力．
本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計(jì)算器的使用與近似計(jì)算，這是一種基本運(yùn)算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了．若在解題中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，則應(yīng)及時(shí)糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費(fèi)過多的時(shí)間．
本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗(yàn)證”學(xué)習(xí)正弦定理．
三維目標(biāo)
1．通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．
2．通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的能力．通過學(xué)生的積極參與和親身實(shí)踐，并成功解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明及其基本運(yùn)用．
教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù)．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關(guān)系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個(gè)等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可以得到asinA＝bsinB，進(jìn)一步提問，等式能否與邊c和∠C建立聯(lián)系？從而展開正弦定理的探究．
思路2.(情境導(dǎo)入)如圖，某農(nóng)場為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設(shè)立了兩個(gè)觀測點(diǎn)A和B，某日兩個(gè)觀測點(diǎn)的林場人員分別測到C處有火情發(fā)生．在A處測到火情在北偏西40°方向，而在B處測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現(xiàn)在要確定火場C距A、B多遠(yuǎn)？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長．”這就是一個(gè)解三角形的問題．為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識(shí)，今天要探究的是解三角形的第一個(gè)重要定理——正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí)．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題？
2聯(lián)想學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三 角形中角與它所對的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？
3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對一般三角形是否仍然成立？
4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？
5什么叫做解三角形？
6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性．如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨�？這些實(shí)際問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)．讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測量中的一些問題．
關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小 邊對小角的邊角關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.
[來源:Zxxk.Com]
那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析．
如下圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.
(當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)
通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點(diǎn)出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理——正弦定理．
正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
asinA＝bsinB＝csinC
上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)行證明．教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系．因?yàn)槿绻螦＜∠B，由三角形性質(zhì)，得a＜b.當(dāng)∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π2)上的單調(diào)性，可知sinA＜sinB.當(dāng)∠A是銳角，∠B是鈍角時(shí)，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間(π2，π)上的單調(diào)性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.
正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法．
討論結(jié)果：
(1)～(4)略．
(5)已知三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形．
(6)應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”．這類問題的解是的．②已知三 角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計(jì)算出另一邊的對角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和 角，即“兩邊一對角問題”．這類問題的答案有時(shí)不是的，需根據(jù)實(shí)際情況分類討論．
應(yīng)用示例
例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．
活動(dòng)：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解∠C，b，c.
此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．
解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得
∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根據(jù)正弦定理，得
b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；
c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．
點(diǎn)評：(1)此類問題結(jié)果為解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理180°求出第三個(gè)角，再利用正弦定理．
(2)對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器．
變式訓(xùn)練
在△ABC中(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)，
(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120° ，求a.
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
bsinB＝csinC，
∴b＝csinBsinC＝3sin60°sin75°≈1.6.
(2)∵asinA＝bsinB，
∴a＝bsinAsinB＝12sin30°sin120°≈6.9.
例2已知△ABC，根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的三角形中其他邊 和角的大小(保留根號(hào)或精確到0.1)：
(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a＝1 0；
(2)a＝3，b＝4，∠A＝30°；
(3)b＝36，c＝6，∠B＝120°.
活動(dòng)：教師可引導(dǎo)學(xué)生先畫圖，加強(qiáng)直觀感知，明確解的實(shí)際情況，這樣在求解之后，無需作進(jìn)一步的檢驗(yàn)，使學(xué)生在運(yùn)用正弦定理求邊、角時(shí)，感到目的明確，思路清晰流暢，同時(shí)體會(huì)分析問題的重要性，養(yǎng)成解題前自覺判定解題策略的良好習(xí)慣，而不是盲目亂試，靠運(yùn)氣解題．
解：(1)因?yàn)椤螩＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c＝asinCsinA＝10sin75°sin60°≈11.2(如圖1所示)．
圖1
(2)由正弦定理，得
sinB＝bsinAa＝4sin30°3＝23，
因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如圖2所示)．
圖2
當(dāng)∠B≈41.8°時(shí)，
∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinCsinA＝3sin108.2°sin30°≈5.7；
當(dāng)∠B≈138.2°時(shí)，
∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，
c＝asinCsinA＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如圖2所示)．
(3)由正弦定理，得
sinC＝csinBb＝6sin120°36＝6×3236＝22，
因此∠C＝45°或∠C＝135°.
因?yàn)椤螧＝120°，所以∠C＜60°.
因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.
再由正弦定理，得
a＝bsinAsinB＝36sin15°32≈2.2(如圖3所示)．
圖3
點(diǎn)評：通過此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，可以通過分析獲得，這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時(shí)解三角形的各種情形．當(dāng)然對于不符合題意的解的取舍，也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷，對于這一點(diǎn)，我們通過下面的變式訓(xùn)練來體會(huì)．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精確到1°)和c.(保留兩個(gè)有效數(shù)字)
解：∵b＜a，∴B＜A，因此B也是銳角．
∵sinB＝bsinAa＝50sin38°60≈0.513 1，
∴B≈31°.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.
∴c＝asinCsinA＝60sin111°sin38°≈91.
例3如圖，在△ABC中，∠A的角平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：BDDC＝ABAC.
活動(dòng)：這是初中平面幾何中角平分線的性質(zhì)定理，用平面幾何的方法很容易證得．教材安排本例的目的是讓學(xué)生熟悉正弦定理的應(yīng)用，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析相關(guān)的三角形的邊角關(guān)系，讓學(xué)生自己證明．
證明：如圖，在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得
BDsinβ＝ABsinα，①
DCsinβ＝ACsin180°－α＝ACsinα，②
①÷②，得BDDC＝ABAC.
點(diǎn)評：解完此題后讓學(xué)生體會(huì)是如何通過正弦定理把所要證的線段連在一起的．本例可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用．
例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，大邊長為10，求角B、C，外接圓半徑R及面積S.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件B∶C＝4∶5，由 于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，這樣就轉(zhuǎn)化為已知三個(gè)角及大角所對的邊解三角形，顯然其解，結(jié)合正弦定理的平面幾何證法，由此可解三角形，教師讓學(xué)生自己探究此題，對于思路有阻的學(xué)生可給予適當(dāng)點(diǎn)撥．
解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可設(shè)B＝4k，C＝5k，
則9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.
由正弦定理，得R＝102sin75°＝5(6－2)，
由面積公式S＝12bc•sinA＝12c•2RsinB•sinA＝75－253.
點(diǎn)評：求面積時(shí)，b未知但可轉(zhuǎn)化為b＝2RsinB，從而解決問題．
1.在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，則△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：運(yùn)用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及結(jié)論sin2A－sin2B＝sin(A＋B)•sin(A－B)，
由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)•sin(A－B)•sinC.
若sin( A－B)＝0，則A＝B.
若sin(A－B)≠0，則sin2A＋sin2B＝sin2Ca2＋b2＝c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選D.
2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．3 ∶2∶1
C．1∶3∶2 D．2∶3∶1
答案：C
知能訓(xùn)練
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，則△ABC的面積S的值是( )
A.2 B.3＋1 C.12(3＋1) D．22
2．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，則此三角形的大邊長為__________．
3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，則cosA＝__________.
答案 ：
1．B 解析：由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝22，B＝180°－A－C＝105°，
∴△ABC的面積S＝12acsinB＝12×2×22sin105°＝3＋1.
2.532＋66 解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.
∴b為△ABC的長邊．
由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝5sin105°sin60°＝532＋66.
3.33 解析：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC的外接圓半徑)．
∴(3sinB－sinC)cosA＝sinA•cosC，
化簡，得3sinB•cosA＝sin(A＋C)＝sinB.
∵0＜sinB≤1，
∴cosA＝33.
課堂小結(jié)
1．先由學(xué)生回顧本節(jié)課正弦定理的證明方法、正弦定理可以解決的兩類問題及解三角形需 要注意的問題，特別是兩解的情況應(yīng)怎樣理解．
2．我們在推證正弦定理時(shí)采用了從特殊到一般的分類討論思想，以“直角三角形”作問題情境，由此展開問題的全面探究，正弦定理的證明方法很多，如平面幾何法、向量法、三角形面積法等．讓學(xué)生課后進(jìn)一步探究這些證明方法，領(lǐng)悟這些方法的思想內(nèi)涵．
3．通過例3引入了三角形外接圓半徑R與正弦定理的關(guān)系．但應(yīng)引起學(xué)生注意，R的引入能給我們解題帶來極大的方便．
作業(yè)
習(xí)題1—1A組1、2、3.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)思路是：立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，讓學(xué)生親身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受創(chuàng)造的快樂，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到較好的落實(shí)．
本教案的設(shè)計(jì)時(shí)刻注意引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生提出問題．一方面鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問題；另一方面注意妥善處理學(xué)生提出的問題，啟發(fā)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將問題逐步引向深入．根據(jù)上述設(shè)想，引導(dǎo)學(xué)生從感興趣的實(shí)際問題到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的情況，從而形成猜想，激起進(jìn)一步探 究的欲望，然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明，并讓學(xué)生通過自己的努力發(fā)現(xiàn)多種證法，開闊學(xué)生視野．
備課資料
一、知識(shí)擴(kuò)展
1．判斷三角形解的方法
“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形，這類問題分為一解、兩解和無解三種情況．一方面，我們可以利用課本上的幾何圖形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行分析．
設(shè)已知a、b、A，則利用正弦定理
sinB＝bsinAa，
如果sinB＞1，則問題無解；
如果sinB＝1，則問題有一解；
如果求出的sinB＜1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．
2．利用正弦定理進(jìn)行邊角互換
對于三角形中的三角函數(shù)，在進(jìn)行恒等變形時(shí)，常常將正弦定理寫成
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R為△ABC的外接圓半徑)．
這樣可以很方便地把邊和角的正弦進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我們將在以后具體應(yīng)用．
3．正弦定理的其他幾種證明方法
(1)三角形面積法
如圖，已知△ABC，設(shè)BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足為D.
則Rt△ADB中，sinB＝ADAB，
∴AD＝AB•sinB＝csinB.
∴S△ABC＝12a•AD＝12acsinB.
同理，可得S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴acsinB＝absinC＝bcsinA.
∴sinBb＝sinCc＝sinAa，即asinA＝bsinB＝csinC.
(2)平面幾何法
如圖，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圓，O為圓心，連結(jié)BO并延長交圓于C′點(diǎn)，設(shè)BC′＝2R，則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，
∴sinC＝sinC′＝c2R.∴csinC＝2R.
同理，可得asinA＝2R，bsinB＝2R.
∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.
這就是說，對于任意的三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式asinA＝bsinB＝csinC.
這種證明方法簡潔明快．在鞏固平面幾何知識(shí)的同時(shí)，將任意三角形與其外接圓聯(lián)系在一起，并且引入了外接圓半徑R，得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R這一等式，其變式為a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可以更快捷地實(shí)現(xiàn)邊角互化．特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對大角的準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系，為正弦定理的應(yīng)用帶來更多的便利．
(3)向量法
①如圖，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC→，則j與AB→的夾角為90°－A，j與CB→的夾角為90°－C.
由向量的加法原則可得AC→＋CB→＝AB→，
為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到j(luò)•(AC→＋CB→)＝j(luò)•AB→，
由分配律可得j•AC→＋j•CB→＝j(luò)•AB→.
∴|j||AC→|cos90°＋|j||CB→|cos(90°－C)＝|j||AB→|cos(90°－A)．
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得csinC＝bsinB.
∴asinA＝bsinB＝csinC.
②如圖，△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A＞90°，過點(diǎn)A作與AC→垂直的單位向量j，則j與AB→的夾角為A－90°，j與CB→的夾角為90°－C.
由AC→＋CB→＝AB→，得j•AC→＋j•CB→＝j(luò)•AB→，
即a•cos(90°－C)＝c•cos(A－90°)，
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC.
③當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，asinA＝bsinB＝csinC顯然成立．
綜上所述，正弦定理對于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立．
二、備用習(xí)題
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，則b等于( )
A．52 B．102 C.1063 D．56
2．△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinB＝12，sinC＝32，則a∶b∶c等于 … ( )
A．1∶3∶2 B．1∶1∶3
C．1∶2∶3 D．2∶1∶3或1∶1∶3
3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2，b＝6 ，B＝120°，則a等于 … ( )
A.6 B．2 C.3 D.2
4．在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且B＝2A，則ba的取值范圍是 … ( )
A．(－2,2) B．(0,2) C．(1，3) D．(2，3)
5．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積為________．
6．在△ABC中，已知a＝334，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.
7．在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35，
(1)求sinC的值；
(2)設(shè)BC＝5，求△ABC的面積．
參考答案：
1．D 解析：由正弦定理，知bsinB＝asinA，即 bsin60°＝10sin45°，解得b＝56.
2．D 解析：由題意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故選D.
3．D 解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°或C＝150°(不符合題意，舍去)．從而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝2.
4．D 解析：由正弦定理知ba＝sinBsinA，又∵B＝2A，
∴ba＝sin2AsinA＝2cosA.
∵△ABC為銳角三角形，
∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.
∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，
∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.
∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.
∴2＜2cosA＜3，
即2＜ba＜3.故選D.
5.1534 解析：由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，即5sinC＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314.
因此sinB＝3314，
所以S△ABC＝12×5×7×3314＝1534.
6.839 解析：由正弦定理，得4sinB＝334sin30°，解得sinB＝839.
7．解：(1)由cosA＝－513，得sinA＝1213.
由cosB＝35，得sinB＝45，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinA•cosB＋cosA•sinB＝1665.
(2)由正弦定理，得
AC＝BC×sinBsinA＝5×451213＝133，
∴△ABC的面積S＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力．
在初中學(xué)習(xí)過關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有著密切的聯(lián)系；這里的一個(gè)重要問題是：是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示．也就是如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．在學(xué)法上主要指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力．
本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計(jì)算器的使用與近似計(jì)算，這是一種基本運(yùn)算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了．若在解題中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，則應(yīng)及時(shí)糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費(fèi)過多的時(shí)間．
本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗(yàn)證”學(xué)習(xí)正弦定理．
三維目標(biāo)
1．通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．
2．通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的能力．通過學(xué)生的積極參與和親身實(shí)踐，并成功解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明及其基本運(yùn)用．
教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù)．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關(guān)系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個(gè)等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可以得到asinA＝bsinB，進(jìn)一步提問，等式能否與邊c和∠C建立聯(lián)系？從而展開正弦定理的探究．
思路2.(情境導(dǎo)入)如圖，某農(nóng)場為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設(shè)立了兩個(gè)觀測點(diǎn)A和B，某日兩個(gè)觀測點(diǎn)的林場人員分別測到C處有火情發(fā)生．在A處測到火情在北偏西40°方向，而在B處測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現(xiàn)在要確定火場C距A、B多遠(yuǎn)？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長．”這就是一個(gè)解三角形的問題．為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識(shí)，今天要探究的是解三角形的第一個(gè)重要定理——正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí)．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題？
2聯(lián)想學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三 角形中角與它所對的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？
3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對一般三角形是否仍然成立？
4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？
5什么叫做解三角形？
6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性．如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨�？這些實(shí)際問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)．讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測量中的一些問題．
關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小 邊對小角的邊角關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.
[來源:Zxxk.Com]
那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析．
如下圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.
(當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)
通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點(diǎn)出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理——正弦定理．
正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
asinA＝bsinB＝csinC
上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)行證明．教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系．因?yàn)槿绻螦＜∠B，由三角形性質(zhì)，得a＜b.當(dāng)∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π2)上的單調(diào)性，可知sinA＜sinB.當(dāng)∠A是銳角，∠B是鈍角時(shí)，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間(π2，π)上的單調(diào)性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.
正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法．
討論結(jié)果：
(1)～(4)略．
(5)已知三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形．
(6)應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”．這類問題的解是的．②已知三 角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計(jì)算出另一邊的對角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和 角，即“兩邊一對角問題”．這類問題的答案有時(shí)不是的，需根據(jù)實(shí)際情況分類討論．
應(yīng)用示例
例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．
活動(dòng)：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解∠C，b，c.
此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．
解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得
∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根據(jù)正弦定理，得
b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；
c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．
點(diǎn)評：(1)此類問題結(jié)果為解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理180°求出第三個(gè)角，再利用正弦定理．
(2)對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器．
變式訓(xùn)練
在△ABC中(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)，
(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120° ，求a.
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
bsinB＝csinC，
∴b＝csinBsinC＝3sin60°sin75°≈1.6.
(2)∵asinA＝bsinB，
∴a＝bsinAsinB＝12sin30°sin120°≈6.9.
例2已知△ABC，根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的三角形中其他邊 和角的大小(保留根號(hào)或精確到0.1)：
(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a＝1 0；
(2)a＝3，b＝4，∠A＝30°；
(3)b＝36，c＝6，∠B＝120°.
活動(dòng)：教師可引導(dǎo)學(xué)生先畫圖，加強(qiáng)直觀感知，明確解的實(shí)際情況，這樣在求解之后，無需作進(jìn)一步的檢驗(yàn)，使學(xué)生在運(yùn)用正弦定理求邊、角時(shí)，感到目的明確，思路清晰流暢，同時(shí)體會(huì)分析問題的重要性，養(yǎng)成解題前自覺判定解題策略的良好習(xí)慣，而不是盲目亂試，靠運(yùn)氣解題．
解：(1)因?yàn)椤螩＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c＝asinCsinA＝10sin75°sin60°≈11.2(如圖1所示)．
圖1
(2)由正弦定理，得
sinB＝bsinAa＝4sin30°3＝23，
因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如圖2所示)．
圖2
當(dāng)∠B≈41.8°時(shí)，
∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinCsinA＝3sin108.2°sin30°≈5.7；
當(dāng)∠B≈138.2°時(shí)，
∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，
c＝asinCsinA＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如圖2所示)．
(3)由正弦定理，得
sinC＝csinBb＝6sin120°36＝6×3236＝22，
因此∠C＝45°或∠C＝135°.
因?yàn)椤螧＝120°，所以∠C＜60°.
因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.
再由正弦定理，得
a＝bsinAsinB＝36sin15°32≈2.2(如圖3所示)．
圖3
點(diǎn)評：通過此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，可以通過分析獲得，這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時(shí)解三角形的各種情形．當(dāng)然對于不符合題意的解的取舍，也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷，對于這一點(diǎn)，我們通過下面的變式訓(xùn)練來體會(huì)．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精確到1°)和c.(保留兩個(gè)有效數(shù)字)
解：∵b＜a，∴B＜A，因此B也是銳角．
∵sinB＝bsinAa＝50sin38°60≈0.513 1，
∴B≈31°.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.
∴c＝asinCsinA＝60sin111°sin38°≈91.
例3如圖，在△ABC中，∠A的角平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：BDDC＝ABAC.
活動(dòng)：這是初中平面幾何中角平分線的性質(zhì)定理，用平面幾何的方法很容易證得．教材安排本例的目的是讓學(xué)生熟悉正弦定理的應(yīng)用，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析相關(guān)的三角形的邊角關(guān)系，讓學(xué)生自己證明．
證明：如圖，在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得
BDsinβ＝ABsinα，①
DCsinβ＝ACsin180°－α＝ACsinα，②
①÷②，得BDDC＝ABAC.
點(diǎn)評：解完此題后讓學(xué)生體會(huì)是如何通過正弦定理把所要證的線段連在一起的．本例可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用．
例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，大邊長為10，求角B、C，外接圓半徑R及面積S.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件B∶C＝4∶5，由 于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，這樣就轉(zhuǎn)化為已知三個(gè)角及大角所對的邊解三角形，顯然其解，結(jié)合正弦定理的平面幾何證法，由此可解三角形，教師讓學(xué)生自己探究此題，對于思路有阻的學(xué)生可給予適當(dāng)點(diǎn)撥．
解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可設(shè)B＝4k，C＝5k，
則9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.
由正弦定理，得R＝102sin75°＝5(6－2)，
由面積公式S＝12bc•sinA＝12c•2RsinB•sinA＝75－253.
點(diǎn)評：求面積時(shí)，b未知但可轉(zhuǎn)化為b＝2RsinB，從而解決問題．
1.在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，則△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：運(yùn)用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及結(jié)論sin2A－sin2B＝sin(A＋B)•sin(A－B)，
由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)•sin(A－B)•sinC.
若sin( A－B)＝0，則A＝B.
若sin(A－B)≠0，則sin2A＋sin2B＝sin2Ca2＋b2＝c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選D.
2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．3 ∶2∶1
C．1∶3∶2 D．2∶3∶1
答案：C
知能訓(xùn)練
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，則△ABC的面積S的值是( )
A.2 B.3＋1 C.12(3＋1) D．22
2．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，則此三角形的大邊長為__________．
3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，則cosA＝__________.
答案 ：
1．B 解析：由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝22，B＝180°－A－C＝105°，
∴△ABC的面積S＝12acsinB＝12×2×22sin105°＝3＋1.
2.532＋66 解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.
∴b為△ABC的長邊．
由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝5sin105°sin60°＝532＋66.
3.33 解析：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC的外接圓半徑)．
∴(3sinB－sinC)cosA＝sinA•cosC，
化簡，得3sinB•cosA＝sin(A＋C)＝sinB.
∵0＜sinB≤1，
∴cosA＝33.
課堂小結(jié)
1．先由學(xué)生回顧本節(jié)課正弦定理的證明方法、正弦定理可以解決的兩類問題及解三角形需 要注意的問題，特別是兩解的情況應(yīng)怎樣理解．
2．我們在推證正弦定理時(shí)采用了從特殊到一般的分類討論思想，以“直角三角形”作問題情境，由此展開問題的全面探究，正弦定理的證明方法很多，如平面幾何法、向量法、三角形面積法等．讓學(xué)生課后進(jìn)一步探究這些證明方法，領(lǐng)悟這些方法的思想內(nèi)涵．
3．通過例3引入了三角形外接圓半徑R與正弦定理的關(guān)系．但應(yīng)引起學(xué)生注意，R的引入能給我們解題帶來極大的方便．
作業(yè)
習(xí)題1—1A組1、2、3.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)思路是：立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，讓學(xué)生親身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受創(chuàng)造的快樂，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到較好的落實(shí)．
本教案的設(shè)計(jì)時(shí)刻注意引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生提出問題．一方面鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問題；另一方面注意妥善處理學(xué)生提出的問題，啟發(fā)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將問題逐步引向深入．根據(jù)上述設(shè)想，引導(dǎo)學(xué)生從感興趣的實(shí)際問題到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的情況，從而形成猜想，激起進(jìn)一步探 究的欲望，然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明，并讓學(xué)生通過自己的努力發(fā)現(xiàn)多種證法，開闊學(xué)生視野．
備課資料
一、知識(shí)擴(kuò)展
1．判斷三角形解的方法
“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形，這類問題分為一解、兩解和無解三種情況．一方面，我們可以利用課本上的幾何圖形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行分析．
設(shè)已知a、b、A，則利用正弦定理
sinB＝bsinAa，
如果sinB＞1，則問題無解；
如果sinB＝1，則問題有一解；
如果求出的sinB＜1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．
2．利用正弦定理進(jìn)行邊角互換
對于三角形中的三角函數(shù)，在進(jìn)行恒等變形時(shí)，常常將正弦定理寫成
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R為△ABC的外接圓半徑)．
這樣可以很方便地把邊和角的正弦進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我們將在以后具體應(yīng)用．
3．正弦定理的其他幾種證明方法
(1)三角形面積法
如圖，已知△ABC，設(shè)BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足為D.
則Rt△ADB中，sinB＝ADAB，
∴AD＝AB•sinB＝csinB.
∴S△ABC＝12a•AD＝12acsinB.
同理，可得S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴acsinB＝absinC＝bcsinA.
∴sinBb＝sinCc＝sinAa，即asinA＝bsinB＝csinC.
(2)平面幾何法
如圖，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圓，O為圓心，連結(jié)BO并延長交圓于C′點(diǎn)，設(shè)BC′＝2R，則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，
∴sinC＝sinC′＝c2R.∴csinC＝2R.
同理，可得asinA＝2R，bsinB＝2R.
∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.
這就是說，對于任意的三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式asinA＝bsinB＝csinC.
這種證明方法簡潔明快．在鞏固平面幾何知識(shí)的同時(shí)，將任意三角形與其外接圓聯(lián)系在一起，并且引入了外接圓半徑R，得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R這一等式，其變式為a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可以更快捷地實(shí)現(xiàn)邊角互化．特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對大角的準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系，為正弦定理的應(yīng)用帶來更多的便利．
(3)向量法
①如圖，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC→，則j與AB→的夾角為90°－A，j與CB→的夾角為90°－C.
由向量的加法原則可得AC→＋CB→＝AB→，
為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到j(luò)•(AC→＋CB→)＝j(luò)•AB→，
由分配律可得j•AC→＋j•CB→＝j(luò)•AB→.
∴|j||AC→|cos90°＋|j||CB→|cos(90°－C)＝|j||AB→|cos(90°－A)．
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得csinC＝bsinB.
∴asinA＝bsinB＝csinC.
②如圖，△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A＞90°，過點(diǎn)A作與AC→垂直的單位向量j，則j與AB→的夾角為A－90°，j與CB→的夾角為90°－C.
由AC→＋CB→＝AB→，得j•AC→＋j•CB→＝j(luò)•AB→，
即a•cos(90°－C)＝c•cos(A－90°)，
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC.
③當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，asinA＝bsinB＝csinC顯然成立．
綜上所述，正弦定理對于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立．
二、備用習(xí)題
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，則b等于( )
A．52 B．102 C.1063 D．56
2．△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinB＝12，sinC＝32，則a∶b∶c等于 … ( )
A．1∶3∶2 B．1∶1∶3
C．1∶2∶3 D．2∶1∶3或1∶1∶3
3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2，b＝6 ，B＝120°，則a等于 … ( )
A.6 B．2 C.3 D.2
4．在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且B＝2A，則ba的取值范圍是 … ( )
A．(－2,2) B．(0,2) C．(1，3) D．(2，3)
5．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積為________．
6．在△ABC中，已知a＝334，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.
7．在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35，
(1)求sinC的值；
(2)設(shè)BC＝5，求△ABC的面積．
參考答案：
1．D 解析：由正弦定理，知bsinB＝asinA，即 bsin60°＝10sin45°，解得b＝56.
2．D 解析：由題意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故選D.
3．D 解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°或C＝150°(不符合題意，舍去)．從而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝2.
4．D 解析：由正弦定理知ba＝sinBsinA，又∵B＝2A，
∴ba＝sin2AsinA＝2cosA.
∵△ABC為銳角三角形，
∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.
∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，
∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.
∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.
∴2＜2cosA＜3，
即2＜ba＜3.故選D.
5.1534 解析：由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，即5sinC＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314.
因此sinB＝3314，
所以S△ABC＝12×5×7×3314＝1534.
6.839 解析：由正弦定理，得4sinB＝334sin30°，解得sinB＝839.
7．解：(1)由cosA＝－513，得sinA＝1213.
由cosB＝35，得sinB＝45，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinA•cosB＋cosA•sinB＝1665.
(2)由正弦定理，得
AC＝BC×sinBsinA＝5×451213＝133，
∴△ABC的面積S＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.
