1.抽象概括：研究實際問題中量，確定變量之間的主、被動關(guān)系，并用x、y分別表示問題中的變量;
2.建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù) 的解析式;
3.求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.
這些步驟用框圖表示是：
例1.如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b
解：設(shè)四邊形EFGH的面積為S，
則S△AEH=S△CFG= x2,
S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x)，
∴S=ab-2[ 2+ (a-x)(b-x)]
=-2x2+(a+b)x=-2(x- 2+
由圖形知函數(shù)的定義域為{x|0
又0
則當(dāng)x= 時，S有值 ;
若 >b,即a>3b時，
S(x)在(0,b]上是增函數(shù)，
此時當(dāng)x=b時，S有值為
-2(b- )2+ =ab-b2,
綜上可知，當(dāng)a≤3b時，x= 時，
四邊形面積Smax= ,
當(dāng)a>3b時，x=b時，四邊形面積Smax=ab-b2.
變式訓(xùn)練1：某商人將進貨單價為8元的某種商品按10元一個銷售時，每天可賣出100個，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價每漲1元，銷售量就減少10個，問他將售價每個定為多少元時，才能使 每天所賺的利潤?并求出值.
解：設(shè)每個提價為x元(x≥0)，利潤為y元，每天銷售總額為(10+x)(100-10x)元，
進貨總額為8(100-10x)元，
顯然100-10x>0,即x<10,
則y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10).
當(dāng)x=4時，y取得值，此時銷售單價應(yīng)為14元，利潤為360元.
例2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度
v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t，0)作橫軸
的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).(1)當(dāng)t=4時，求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這
場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將
侵襲到N城?如果不會，請說明理由.
解：(1)由圖象可知：
當(dāng)t=4時，v=3×4=12,
∴s= ×4×12=24.
(2)當(dāng)0≤t≤10時，s= •t•3t= t2，
當(dāng)10
當(dāng)20
綜上可知s=
(3)∵t∈[0，10]時，smax= ×102=150<650.
t∈(10，20]時，smax=30×20-150=450<650.
∴當(dāng)t∈(20，35]時，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20
∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.
變式訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺 ，
需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函 數(shù)為R(x)=5x- (萬元)(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺).
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
(2)年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤?
(3)年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本?
解：(1)當(dāng)x≤5時，產(chǎn)品能售出x百臺;
當(dāng)x>5時，只能售出5 百臺，
故利潤函數(shù)為L(x)=R(x)-C(x)
=
(2)當(dāng)0≤x≤5時，L(x)=4.75x- -0.5，
當(dāng)x=4.75時，L(x)max=10.78125萬元.
當(dāng)x>5時，L(x)=12-0.25x為減函數(shù)，
此時L(x)<10.75(萬元).∴生產(chǎn)475臺時利潤.
(3)由
得x≥4.75- =0.1(百臺)或x<48(百臺).
∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4800臺時，工廠不虧本.
2.建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù) 的解析式;
3.求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.
這些步驟用框圖表示是：
例1.如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b
解：設(shè)四邊形EFGH的面積為S，
則S△AEH=S△CFG= x2,
S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x)，
∴S=ab-2[ 2+ (a-x)(b-x)]
=-2x2+(a+b)x=-2(x- 2+
由圖形知函數(shù)的定義域為{x|0
又0
則當(dāng)x= 時，S有值 ;
若 >b,即a>3b時，
S(x)在(0,b]上是增函數(shù)，
此時當(dāng)x=b時，S有值為
-2(b- )2+ =ab-b2,
綜上可知，當(dāng)a≤3b時，x= 時，
四邊形面積Smax= ,
當(dāng)a>3b時，x=b時，四邊形面積Smax=ab-b2.
變式訓(xùn)練1：某商人將進貨單價為8元的某種商品按10元一個銷售時，每天可賣出100個，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價每漲1元，銷售量就減少10個，問他將售價每個定為多少元時，才能使 每天所賺的利潤?并求出值.
解：設(shè)每個提價為x元(x≥0)，利潤為y元，每天銷售總額為(10+x)(100-10x)元，
進貨總額為8(100-10x)元，
顯然100-10x>0,即x<10,
則y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10).
當(dāng)x=4時，y取得值，此時銷售單價應(yīng)為14元，利潤為360元.
例2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度
v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t，0)作橫軸
的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).(1)當(dāng)t=4時，求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這
場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將
侵襲到N城?如果不會，請說明理由.
解：(1)由圖象可知：
當(dāng)t=4時，v=3×4=12,
∴s= ×4×12=24.
(2)當(dāng)0≤t≤10時，s= •t•3t= t2，
當(dāng)10
當(dāng)20
綜上可知s=
(3)∵t∈[0，10]時，smax= ×102=150<650.
t∈(10，20]時，smax=30×20-150=450<650.
∴當(dāng)t∈(20，35]時，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20
∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.
變式訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺 ，
需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函 數(shù)為R(x)=5x- (萬元)(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺).
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
(2)年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤?
(3)年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本?
解：(1)當(dāng)x≤5時，產(chǎn)品能售出x百臺;
當(dāng)x>5時，只能售出5 百臺，
故利潤函數(shù)為L(x)=R(x)-C(x)
=
(2)當(dāng)0≤x≤5時，L(x)=4.75x- -0.5，
當(dāng)x=4.75時，L(x)max=10.78125萬元.
當(dāng)x>5時，L(x)=12-0.25x為減函數(shù)，
此時L(x)<10.75(萬元).∴生產(chǎn)475臺時利潤.
(3)由
得x≥4.75- =0.1(百臺)或x<48(百臺).
∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4800臺時，工廠不虧本.
