一.課標(biāo)解讀
1.《普通高中數(shù)學(xué)課程》課程中明確指出"理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集; 在具體情境中,了解全集與空集的含義."
2.重點(diǎn):子集的概念
3.難點(diǎn):元素與子集.屬于與包含之間的區(qū)別.
二.要點(diǎn)掃描
1. 子集的定義
如果集合中的任意一個(gè)元素都是集合的元素,則集合是集合的子集.也說(shuō)集合包含于集合,或集合包含集合,記作或(注意:任何一個(gè)集合是它本身的子集)
2. 空集的定義
空集是任意一集合的子集,也就是說(shuō),對(duì)任意集合,都有.
3. 兩集合相等
如果,則等于,記作=;反之,如果=,則.
4. 真子集的定義
如果,且中至少有一個(gè)元素不屬于,那么集合是集合的真子集,記作.以上條件還可概括為:如果,且,則.(注意:空集是任何非空集合的真子集.)
5. 有限集合的子集個(gè)數(shù)
個(gè)元素的集合有個(gè)子集;有個(gè)非空子集;有個(gè)真子集;有個(gè)非空真子集.
6. 維恩圖
這種圖在數(shù)學(xué)上也稱為文(Tohn Venn,1834年~1923年英國(guó)邏輯學(xué)家)氏圖.它僅僅起著說(shuō)明各集合之間關(guān)系的示意圖的作用(就像交通示意圖只說(shuō)明各車站之間的位置關(guān)系那樣),因此,邊界用直線還是曲線,乃實(shí)線還虛線都無(wú)關(guān)緊要,只要封閉并把有關(guān)元素或子集統(tǒng)統(tǒng)包在里邊就行.決不能理解成圈內(nèi)的每一點(diǎn)都是這個(gè)集合的元素(事實(shí)上,這個(gè)集合可能與點(diǎn)毫無(wú)關(guān)系);至于邊界上的點(diǎn)是否屬于這個(gè)集合,也都不必考慮.
三.知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)1區(qū)分
表示以空集,為元素的單元素集合,當(dāng)把視為集合時(shí), 成立;
當(dāng)把視為元素時(shí),也成立.表示元素,表示以為元素的單元素集合,不能混淆它們的含意.
知識(shí)點(diǎn)2區(qū)分與
表示元素與集合之間的關(guān)系,如:;
表示集合與集合之間的關(guān)系,如等.
四.典題解悟
----------------------------------------------------基礎(chǔ)在線----------------------------------------------------
[題型一]子集與真子集
如果集合中的任意一個(gè)元素都是集合的元素,則集合是集合的子集. 如果,且中至少有一個(gè)元素不屬于,那么集合是集合的真子集.
例1. 滿足的集合是什么?
解析:由可知,集合必為非空集合;又由可知,此題即為求集合的所有非空子集。滿足條件的集合有,共十五個(gè)非空子集。
此題可以利用有限集合的非空子集的個(gè)數(shù)的公式進(jìn)行檢驗(yàn)，，正確。
答案:15
例2. 已知，試確定A，B，C之間的關(guān)系。
解析:由題意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之間的關(guān)系是
[題型二] 區(qū)分
是空集，是不含任何元素的集合;{}不是空集，它是以一個(gè)為元素的單元素集合，而非不含任何元素，所以{};{}也不是空集，而是單元素集合，只有一個(gè)元素，可見(jiàn){}，{}，這也體現(xiàn)了"是集合還是元素，并不是絕對(duì)的"。
例3. 判斷正誤
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6)
解析: 表示以為元素的單元素集合,當(dāng)把視為集合時(shí), 成立;
當(dāng)把視為元素時(shí),也成立.表示元素,表示以為元素的單元素集合,不能混淆它們的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
[題型三] 集合的相等
例4. ，若，求。
解析:，即兩集合的元素相同，有兩種可能：
解得 ; 解得
∴或。
答案: 或。
例5. 含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為集合也可表示為集合,求.
解析:從集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的確定性及集合相等,得
=-----①,從而有,因?yàn)?所以代入①,得-----②,由②易知.當(dāng)時(shí),與集合的互異性不符,從而,,故.
答案:-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有關(guān)子集綜合問(wèn)題的解法
⑴在解子集的綜合問(wèn)題時(shí)，首先要注意集合自身的轉(zhuǎn)化，能夠用列舉法表述的，盡可能用列舉法，這樣時(shí)的集合中的元素清晰明確，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。其次，解決這類問(wèn)題常用到分類討論的方法。如即可分兩類討論：⑴⑵，而對(duì)于⑴又可分兩類討論：⑴⑵，從而使問(wèn)題得到解決。需注意這種情況易被遺漏。注意培養(yǎng)慎密的思維品質(zhì)
⑵解決子集問(wèn)題的又一常用方法是數(shù)形結(jié)合。首先還是集合的自身轉(zhuǎn)換，根據(jù)題意，用適合的方法來(lái)描述集合，進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后利用數(shù)軸來(lái)體現(xiàn)子集的含義，即集合間的包含關(guān)系，再由圖示找出相應(yīng)的關(guān)系式，從而使問(wèn)題得到解決。
例6. 已知集合，，若，求實(shí)數(shù)滿足的條件。
解析:由于集合可用列舉法表示為，所以可能等于，即;也可能是的真子集，即=，或=，或=，從而求出實(shí)數(shù)滿足的條件。
∵，且，可得
⑴當(dāng)時(shí)，，由此可知，是方程的兩根，
由韋達(dá)定理無(wú)解;⑵當(dāng)時(shí)①,即=,=, ，解得，
此時(shí)，符合題意，即符合題意;
②，，解得，
綜合⑴⑵知：滿足的條件是。
答案:
例7. 已知集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解析:此題要分和兩種情況討論。
⑴， 即，依題意，有，在數(shù)軸上作出包含關(guān)系圖形，如圖：有解得;　�、�,即，解得;
綜合以上兩種情況，可知實(shí)數(shù)的取值范圍是。
答案:
-----------------------------------------------錯(cuò)解點(diǎn)擊-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集合用列舉法寫出;
⑵已知集合用列舉法寫出。
錯(cuò)解: ⑴=
⑵=
正解: ⑴=
⑵=
分析:認(rèn)識(shí)一個(gè)集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知條件注意到中的元素的屬性是，即是的子集, 可以是, ∴=
⑵由已知條件注意到中的元素的屬性是,即是的元素, 可以是,　　∴=
五.課本習(xí)題解析
習(xí)題1-1A(課本第118頁(yè))　　1.　　2.
六.同步自測(cè)
-----------------------------------------------雙基訓(xùn)練-----------------------------------------------
1.集合的子集有 個(gè)
(A) 5　 (B)　 (C) 　 (D)
2.集合，，則有( )
(A) (B) (C) (D) 以上都不是
3.滿足關(guān)系式的集合的個(gè)數(shù)為( )
(A) 　 (B) 　(C) 　 (D)
4.若集合M={x|x≤}，a=，則下列關(guān)系正確的是( )
(A).{a}M (B).{a}M (C).aM (D).aM
5. 下面六個(gè)關(guān)系式
① ②③ ④⑤⑥
其中正確的是( )
(A).①②③④(B).③⑤⑥ (C).①④⑤(D).①③⑤
6.已知集合和，那么( )
A. B. C. D.
7.設(shè)集合,則( )
A. B. C. D.=
8. 數(shù)集與的關(guān)系是( )
A. B. C. D.
9. 設(shè)集合則集合之間的關(guān)系是( )
. . . .以上都不對(duì)
10. 若則滿足上述條件的集合有 個(gè);
11. 設(shè)，，則 ;
12. 集合M={1，2，(1，2)｝有______個(gè)子集，它們是 。
13.同時(shí)滿足(1)M{1，2，3，4，5}(2)若a∈M，則6a∈M的非空集合M有多少?寫出這些集合來(lái)。
14.已知求證：。
15.已知求實(shí)數(shù)的值。
-----------------------------------------------------綜合提高-----------------------------------------------------
16. 已知 ， .若，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ;
17.數(shù)集X={x|x=12m+8n，m，n∈Z｝與數(shù)集Y={x|x=20p+16q，p，q∈Z｝之間的關(guān)系是 ;
18.集合P={x,1｝, Q={y,1,2｝, 其中x, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P是Q的真子集, 把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)(x, y)作為一個(gè)點(diǎn), 這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 個(gè);
19.已知三個(gè)元素的集合 ， ,如果 ，那么 的值為 .
20. 已知，，求實(shí)數(shù)的取值集合。
21. 已知集合，，求的值。七.相關(guān)鏈接
康托爾的不朽功績(jī)
前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲�戈洛夫評(píng)價(jià)康托爾的工作時(shí)說(shuō)："康托爾的不朽功績(jī)?cè)谟谒�向無(wú)窮的冒險(xiǎn)邁進(jìn)".因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對(duì)無(wú)窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會(huì)真正明白他工作的價(jià)值之所在和眾多反對(duì)之聲之由來(lái).
數(shù)學(xué)與無(wú)窮有著不解之緣，但在研究無(wú)窮的道路上卻布滿了陷阱.因?yàn)檫@一原因，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無(wú)窮，并盡可能回避這一概念.但試圖把握無(wú)限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路.他把無(wú)窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開(kāi)墾的處女地，開(kāi)辟出一個(gè)奇妙無(wú)比的新世界.對(duì)無(wú)窮集的研究使他打開(kāi)了"無(wú)限"這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子.下面就讓我們來(lái)看一下盒子打開(kāi)后他釋放出的是什么.
"我們把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱作自然數(shù)集，用字母N來(lái)表示."學(xué)過(guò)集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對(duì)這句話不會(huì)感到陌生.但同學(xué)們?cè)诮邮苓@句話時(shí)根本無(wú)法想到當(dāng)年康托爾如此做時(shí)是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無(wú)窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長(zhǎng)著的東西來(lái)解釋.無(wú)限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在.這種關(guān)于無(wú)窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無(wú)限.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).用他的話說(shuō)，就是"......我反對(duì)將無(wú)窮量作為一個(gè)實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來(lái)不允許的.所謂無(wú)窮，只是一種說(shuō)話的方式......"而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí)，他是把無(wú)限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無(wú)窮，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無(wú)限思想.由于潛無(wú)限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實(shí)無(wú)限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊是無(wú)足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無(wú)窮.他在實(shí)無(wú)限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論.這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的奇特的無(wú)限世界.
能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對(duì)無(wú)窮集元素個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究.他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則來(lái)比較無(wú)窮集元素的個(gè)數(shù).他把元素間能建立一一對(duì)應(yīng)的集合稱為個(gè)數(shù)相同，用他自己的概念是等勢(shì).由于一個(gè)無(wú)窮集可以與它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也就是說(shuō)無(wú)窮集可以與它的真子集等勢(shì)，即具有相同的個(gè)數(shù).這與傳統(tǒng)觀念"全體大于部分"相矛盾.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無(wú)窮集的特征.在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個(gè)數(shù)，他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來(lái)當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)[注]集合也是可數(shù)集時(shí)，一個(gè)很自然的想法是無(wú)窮集是清一色的，都是可數(shù)集.但出乎意料的是，他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢(shì)大于自然數(shù)集.這不但意味著無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣："點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星;而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成."而當(dāng)他得出這一結(jié)論時(shí)，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個(gè)而已.這是何等令人震驚的結(jié)果!然而，事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)打開(kāi)就無(wú)法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個(gè)無(wú)窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識(shí)到無(wú)窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級(jí)，可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在所有的無(wú)窮集之間還存在著無(wú)窮多個(gè)層次.他取得了成功，并且根據(jù)無(wú)窮性有無(wú)窮種的學(xué)說(shuō)，對(duì)各種不同的無(wú)窮大建立了一個(gè)完整的序列，他稱為"超限數(shù)".他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母"阿列夫"來(lái)表示超限數(shù)的精靈，終他建立了關(guān)于無(wú)限的所謂阿列夫譜系
它可以無(wú)限延長(zhǎng)下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無(wú)限王國(guó)的完整圖景.可以想見(jiàn)這種至今讓我們還感到有些異想天開(kāi)的結(jié)論在當(dāng)時(shí)會(huì)如何震動(dòng)數(shù)學(xué)家們的心靈了.毫不夸張地講，康托爾的關(guān)于無(wú)窮的這些理論，引起了反對(duì)派的不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對(duì)他的理論.有人嘲笑集合論是一種"疾病"，有人嘲諷超限數(shù)是"霧中之霧"，稱"康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄".作為對(duì)傳統(tǒng)觀念的大革新，由于他開(kāi)創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域，提出又回答了前人不曾想到的問(wèn)題，他的理論受到激烈地批駁是正常的.當(dāng)回頭看這段歷史時(shí)，或許我們可以把對(duì)他的反對(duì)看作是對(duì)他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種褒揚(yáng)吧.
高考解密
考點(diǎn)導(dǎo)航05考綱考題展示
考點(diǎn)①了解映射的概念,理解函數(shù)的概念
1.(2004年,湖北)解答案
2.(2004年,湖北)解法一解法二答案考點(diǎn)②
參考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之間的關(guān)系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10.四 11. {{0}，{1}}
12. 八個(gè);
，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七個(gè) ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 根據(jù)真子集的定義證明。
15. 若，則=1或者-1，
若=1，則A={1，1，y},不成立，舍去=1;
若=-1，則A={-1，1，-y}，B={1，-1，}，=-，所以=0;
若=1，2=，則，2=，即=1，
前已證，應(yīng)舍去。
綜上所述，=-1，=0。16. 或17. ,,所以X=Y
18. x, y的值有以下幾種可能的組合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案為1419.所以答案為-2
20. 先將集合A用列舉法表示,再根據(jù)條件,分情況討論B中元素的情況,求a的值. A={-4，2}，關(guān)于B，分三種情況討論：
(1) B={-4}
(2) B={2}
(3) B={-4，2}，
所以的取值的集合是{-4，2}。
21. 有兩種可能:　　①或者②注意所以答案為.