教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：了解離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。
過程與方法：了解方差公式D(a+b)=a2D， 以及若～(n，p)，則D=np(1p)，并會應(yīng)用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差 。
情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價值。
教學(xué)重點：離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
教學(xué)難點：比較兩個隨機變量的期望與方差的大小，從而解決實際問題
教具準(zhǔn)備：多媒體、實物投影儀 。
教學(xué)設(shè)想：了解方差公式D(a+b)=a2D，以及若～(n，p)，則D=np(1p)，并會應(yīng)用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差 。
授課類型：新授課
課時安排：2課時
教 具：多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析：
數(shù) 學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機實驗中取值的平均值，所以又常稱為隨機變量的平均數(shù)、均值.今天，我們將對隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進行研究.其實在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差.
回顧一組數(shù)據(jù)的方差的概念：設(shè)在一組數(shù)據(jù) ， ，， 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均值 得差的平方分別是 ， ，， ，那么 + ++叫做這組數(shù)據(jù)的方差
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母、等表示
2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量
3.連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量
4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果;但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出
5. 分布列:
x1 x2 xi
P P1 P2 Pi
6. 分布列的兩個性質(zhì)： ⑴Pi0，i=1，2，; ⑵P1+P2+=1.
7.二項分布:～B(n，p)，并記 =b(k;n，p).
0 1 k n
P
8.幾何分布： g(k，p)= ，其中k=0,1,2,， .
1 2 3 k
P9.數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機變量的概率分布為
x1 x2 xn
P p1 p2 pn
則稱 為的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.
10. 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平
11 平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機變量的概率分布中，令 ，則有 ， ，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值
12. 期望的一個性質(zhì):
13.若 B(n,p)，則E=np
二、講解新課：
1. 方差: 對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是 ， ，， ， ，且取這些值的概率分別是 ， ，， ，，那么,
= + ++ +
稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的 是隨機變量的期望.
2. 標(biāo)準(zhǔn)差: 的算術(shù)平方根 叫做隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作 .
3.方差的性質(zhì)：(1) ;(2) ;
(3)若～B(n，p)，則 np(1-p)
4.其它：
⑴隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的;
⑵隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度;
⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛
三、講解范例：例1.隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差. 解：拋擲散子所得點數(shù)X 的分布列為 1 2 3 4 5 6 從而 例2.有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息： 甲單位不同職位月工資X1/元 1200 1400 1600 1800 獲得相應(yīng)職位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙單位不同職位月工資X2/元 1000 1400 1800 2000 獲得相應(yīng)職位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位? 解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得 EX1 = 12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 0. 4 + (1400-1400 ) 20.3 + (1600 -1400 )20.2+(1800-1400) 20. 1 = 40 000 ; EX2=1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)20. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)20.2 + (2200-1400 )20.l = 160000 . 因為EX1 =EX2, DX 1 例3.設(shè)隨機變量的分布列為 1 2 nP
求D
解：(略) ,
例4.已知離散型隨機變量 的概率分布為
1 2 3 4 5 6 7
P
離散型隨機變量 的概率分布為
3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
P
求這兩個隨機變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差
解： ;
;
;
=0.04, .
點評：本題中的 和 都以相等的概率取各個不同的值，但 的取值較為分散， 的取值較為集中. ， ， ，方差比較清楚地指出了 比 取值更集中.
=2， =0.02，可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差
例5.甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為 0.4,0.2,0.24 用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平
解：
+(10-9) ;同理有
由上可知， ， 所以，在射擊之前，可以預(yù)測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些.
點評：本題中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同. =9，這時就通過 =0.4和 =0.8來比較 和 的離散程度，即兩名射手成績的穩(wěn)定情況
例6.A、B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示：
A機床 B機床
次品數(shù)1 0 1 2 3 次品數(shù)1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0 .04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
問哪一臺機床加工質(zhì)量較好
解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,
E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.
它們的期望相同，再比較它們的方差
D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2
0.06+(3-0.44)20.04=0.6064,
D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2
0.04+(3-0.44)20.10=0.9264.
D1 D2 故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.
四、課堂練習(xí)：
1 .已知 ，則 的值分別是( )
A. ;B. ;C. ;D.
答案：1.D
2 . 一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止.求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望.
分析：涉及次品率;抽樣是否放回的問題.本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨立的.如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件.
解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3
當(dāng)=0時，即第取得正品，試驗停止，則
P(=0)=
當(dāng)=1時，即第取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則
P(=1)=
當(dāng)=2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則
P(=2)=
當(dāng)=3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則P(=3)=
所以，E=
3. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1% ，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為，求E，D
分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題.由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨立的.解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復(fù)試驗，即 B(200，1%)，從而可用公式：E=np，D=npq(這里q=1-p)直接進行計算
解：因為商品數(shù)量相當(dāng)大，抽200件商品可以看作200次獨立重復(fù)試驗，所以 B(200，1%) 因為E=np，D=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.98
4. 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在試驗中發(fā)生次數(shù)的方差不超過1/4
分析：這是一道純數(shù)學(xué)問題.要求學(xué)生熟悉隨機變量的期望與方差的計算方法，關(guān)鍵還是掌握隨機變量的分布列.求出方差D=P(1-P)后，我們知道D是關(guān)于P(P0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論
證明：因為所有可能取的值為0，1且P(=0)=1-p,P(=1)=p,
所以，E=0(1-p)+1p=p
則 D=(0-p)2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p)
5. 有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強度，指標(biāo)如下：
A 110 120 125 130 135 B 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中A、B分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強度.在使用時要求鋼筋的抗拉強度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好
分析： 兩個隨機變量A和 B都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5個不同的數(shù)值.A取較為集中的數(shù)值110，12 0，125， 130，135;B取較為分散的數(shù)值100，115，125，130，145.直觀上看，猜想A種鋼筋質(zhì)量較好.但猜想不一定正確，需要通過計算來證明我們猜想的正確性
解：先比較A與B的期望值，因為
EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,
EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.
所以，它們的期望相同.再比較它們的方差.因為
DA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50，
DB=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.
所以，DA DB.因此，A種鋼筋質(zhì)量較好
6. 在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的.在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元?
分析：這是同學(xué)們身邊常遇到的現(xiàn)實問題，比如福利彩票、足球彩票、奧運彩票等等.一般來說，出臺各種彩票，政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業(yè)，同時也要考慮工作人員的工資等問題.本題的不考慮獲利的意思是指：所收資金全部用于獎品方面的費用
解：設(shè)一張彩票中獎額為隨機變量，顯然所有可能取的值為0，5，25，100 依題
意，可得的分布列為
0 5 25 100
P
答：一張彩票的合理價格是0.2元.
五、小結(jié) ：⑴求離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解的意義，寫出可能取的全部值;②求取各個值的概率，寫出分布列;③根據(jù)分布列，由期望的定義求出E;④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 、 .若～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計算即可.
⑵對于兩個隨機變量 和 ，在 和 相等或很接近時，比較 和
，可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要
六、課后作業(yè)： P69練習(xí)1,2,3 P69 A組4 B組1,2
1.設(shè) ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p
解：由二次分布的期 望與方差性質(zhì)可知E =np D = np(1-p)
2.已知隨機變量 服從二項分布即 ~B(6、 )求b (2;6， )
解：p( =2)=c62( )2( )4
3.已知甲、乙兩名射手在射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量 和 ，已知 和 的分布列如下：(注得分越大，水平越高)
1 2 3
p A 0.1 0.6
1 2 3
p 0.3 b 0.3
試分析甲、乙技術(shù)狀況
解：由0.1+0.6+a+1 a=0.3
0.3+0.3+b=1 a=0.4
E =2.3 , E =2.0
D =0.81 , D =0.6
七、板書設(shè)計(略)
八、教學(xué)反思：
⑴求離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：
①理解的意義，寫出可能取的全部值;
②求取各個值的概率，寫出分布列;
③根據(jù)分布列，由期望的定義求出E;
④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 、 .若～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計算即可.
⑵對于兩個隨機變量 和 ，在 和 相等或很接近時，比較 和 ，可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要
