平行線定義
在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。
平行線一定要在同一平面內(nèi)定義，不適用于立體幾何，比如異面直線，不相交，也不平行。
歐氏幾何中平行線的性質(zhì)
1.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。
2.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。
3.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。
以上性質(zhì)可簡單說成：
1.兩條直線平行，同位角相等。
2.兩條直線平行，內(nèi)錯角相等。
3.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補。
三角形中：
平行線分三角形對應(yīng)邊成比例。
平行線的判定
1.平行線的定義。(在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。)
2.平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行。
3.在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。
4.同位角相等，兩直線平行。
5.內(nèi)錯角相等，兩直線平行。
6.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。
7.經(jīng)過直線外一點，能且只能畫一條直線與已知直線平行。
8.兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。
平行公理
在同一平面內(nèi)，過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線互相平行。
在同一平面內(nèi)，垂直于一條直線的兩直線互相平行。
平行公理的推論：(平行線的傳遞性)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
即平行于同一條直線的兩條直線平行。簡稱：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
平行線定義的拓展
在高等數(shù)學中的平行線的定義是相交于無限遠的兩條直線為平行線，因為理論上是沒有絕對的平行的。
在歐氏幾何中，在兩條平行線中做一條直線AB，以直線AB為半徑以逆時針方向做圓，然后以直線AB為半徑以順時針方向再做一個圓，從兩個圓的交點做垂線CD垂直于直線AB，若CD與AB的角的角度是90度，則說明兩條平行線不會相交。
但歐幾里得不敢思考當兩條平行線無限長時的情況.....
于是包括羅素、黎曼在內(nèi)的科學家假設(shè)當兩條平行線無限長時，他們會在無窮遠處相交。(例如：在地球的球面上，就會發(fā)現(xiàn)，相互垂直于赤道的經(jīng)線會相交于北極點和南極點。)后來，非歐幾何和黎曼空間就誕生了，該成果給了愛因斯坦很大的啟發(fā)。
平行線公理就是區(qū)分歐氏幾何與非歐幾何的一個重要區(qū)別。