古典概型的基本概念
1.基本事件：在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件;
2.等可能基本事件：若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件;
3.古典概型：滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型①所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等;
4.古典概型的概率：如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是
1，如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為nP(A)?m.n
知識點一：古典概型的基本概念
*例1：從字母a,b,c,d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件?思路分析：
題意分析：本試題考查一次試驗中用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果，而畫樹狀圖是列舉法的基本方法.
解題思路：為了了解基本事件，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結(jié)果都列出來.或者利用樹狀圖將它們之間的關(guān)系列出來.解答過程：解法一：所求的基本事件共有6個：
A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d}
解法二：樹狀圖
解題后的思考：用樹狀圖求解一次試驗中的基本事件數(shù)比較直觀、形象，可做到不重不漏.掌握列舉法，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計算問題.
**例2：(1)向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么?
(2)如圖，某同學(xué)隨機地向一靶心射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)??命中5環(huán)和不中環(huán).你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么?
思路分析：
題意分析：本題考查古典概型的概念.應(yīng)明確什么是古典概型及其應(yīng)具備什么樣的條件.解題思路：結(jié)合古典概型的兩個基本特征可進(jìn)行判定解決.解答過程：
答：(1)不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的，雖然每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件.
(2)不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個，而命中10環(huán)、命中9環(huán)??命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件.
解題后的思考：判定是不是古典概型，主要看兩個方面，一是實驗結(jié)果是不是有限的;另一個就是每個事件是不是等可能的.
***例3：單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇正確的答案.假設(shè)考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少?思路分析：
題意分析：本題考查古典概型概率的求解運算.
解題思路：解本題的關(guān)鍵，即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型.如果考生掌握了全部或部分考查內(nèi)容，這都不滿足古典概型的第2個條件——等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下，才可將此問題看作古典概型.
解答過程：這是一個古典概型，因為試驗的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個，考生隨機地選擇一個答案是選擇A，B，C，D的可能性是相等的.從而由古典概型的概率計算公式得：
P(答對\答對所包含的基本事件的個數(shù)1==0.25
基本事件的總數(shù)4解題后的思考：運用古典概型的概率公式求概率時，一定要先判定該試題是不是古典概型，然后明確試驗的總的基本事件數(shù)，和事件A發(fā)生的基本事件數(shù)，再借助于概率公式運算.小結(jié)：本知識點的例題主要考查對古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的兩個特征是解決概率問題的第一個關(guān)鍵點;理解一次試驗中的所有基本事件數(shù)，和事件A發(fā)生的基本事件數(shù)，是解決概率問題的第二個關(guān)鍵點.
知識點二：古典概型的運用
*例4：同時擲兩個骰子，計算：(1)一共有多少種不同的結(jié)果?
(2)其中向上的點數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種?(3)向上的點數(shù)之和是5的概率是多少?
(4)為什么要把兩個骰子標(biāo)上記號?如果不標(biāo)記號會出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎?思路分析：
題意分析：本題考查了古典概型的基本運算問題.
解題思路：先分析“同時擲兩個骰子的所有事件數(shù)”，然后分析事件A：向上的點數(shù)之和為5的基本事件數(shù)，最后結(jié)合概率公式運算.同時可以運用舉一反三的思想自行設(shè)問、解答.
解答過程：
解：(1)擲一個骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個骰子標(biāo)上記號1，2以便區(qū)分，由于1號骰子的結(jié)果都可與2號骰子的任意一個結(jié)果配對，我們用一個“有序?qū)崝?shù)對”來表示組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果(如表)，其中第一個數(shù)表示擲1號骰子的結(jié)果，第二個數(shù)表示擲2號骰子的結(jié)果.(可由列表法得到)1號骰子2號骰子1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456由表中可知同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種.(2)在上面的結(jié)果中，向上的點數(shù)之和為5的結(jié)果有4種，分別為：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)
(3)由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得
P(A)=A所包含的基本事件的個數(shù)41==
基本事件的總數(shù)369(4)如果不標(biāo)上記號，類似于(1，2)和(2，1)的結(jié)果將沒有區(qū)別.這時，所有可能的結(jié)果將是：
(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5)(5，6)(6，6)共有21種，和是5的結(jié)果有2個，它們是(1，4)(2，3)，則所求的概率為
P(A)=A所包含的基本事件的個數(shù)2=
基本事件的總數(shù)21這就需要我們考察兩種解法是否滿足古典概型的要求了.可以通過展示兩個不同的骰子所拋擲出來的點，感受第二種方法構(gòu)造的基本事件不是等可能事件.
解題后的思考：考查同學(xué)們運用古典概型的概率計算公式時應(yīng)注意驗證所構(gòu)造的基本事件是否滿足古典概型的第二個條件.
對于同時拋擲的問題，我們要將骰子編號，因為這樣就能反映出所有的情況，不至于把(1，2)和(2，1)看作相同的情況，保證基本事件的等可能性.我們也可將此試驗通過先后拋擲來解決，這樣就有順序了，則基本事件的出現(xiàn)也是等可能的.
**例5：從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.思路分析：
題意分析：本題考查的是不放回抽樣的古典概型概率的運用
解題思路：首先注意到該題中取出的過程是有順序的.同時明白一次試驗指的是“不放回的，連續(xù)的取兩次”.
先列舉出試驗中的所有基本事件數(shù)，然后求事件A的基本事件數(shù)，利用概率公式求解.解答過程：
解法1：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.
用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]事件A由4個基本事件組成，因而P(A)=
42=63解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x，y)記錄結(jié)果，則x有3種可能，y有2種可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以試驗的所有結(jié)果有3×2÷2=3種，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數(shù)為2×1÷1=2，因此P(B)=
23解題后的思考：關(guān)于不放回抽樣，計算基本事件的個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié)果是一樣的，但無論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導(dǎo)致錯誤.
***例6：從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.思路分析：
題意分析：本題考查放回抽樣的概率問題.
解題思路：首先注意到該題中取出的過程是有順序的.同時明白一次試驗指的是“有放回的，連續(xù)的取兩次”.
解答過程：每次取出一個后放回，連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有9個，即
(a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1)(a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2)(b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1)
其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)]事件A由4個基本事件組成，因此P(A)=
4.9解題后的思考：對于有放回抽樣的概率問題我們要理解每次取的時候，總數(shù)是不變的，且同一個體可被重復(fù)抽取，同時，在求基本事件數(shù)時，要做到不重不漏.小結(jié)：
(1)古典概型概率的計算公式是非常重要的一個公式，要深刻體會古典概型的概念及其概率公式的運用，為我們學(xué)好概率奠定基礎(chǔ).
(2)體會求解不放回和有放回概率的題型.
知識點三：隨機數(shù)產(chǎn)生的方法及隨機模擬試驗的步驟
**例7：某籃球愛好者，做投籃練習(xí)，假設(shè)其每次投籃命中的概率是40%，那么在連續(xù)三次投籃中，恰有兩次投中的概率是多少?思路分析：
題意分析：本題考查的是近似計算非古典概型的概率.
解題思路：其投籃的可能結(jié)果有有限個，但是每個結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式計算，我們用計算機或計算器做模擬試驗可以模擬投籃命中的概率為40%.解答過程：
我們通過設(shè)計模擬試驗的方法來解決問題，利用計算機或計算器可以生產(chǎn)0到9之間的取整數(shù)值的隨機數(shù).
我們用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是40%.因為是投籃三次，所以每三個隨機數(shù)作為一組.
例如：產(chǎn)生20組隨機數(shù)：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，488907，113，966，191，431，257，393，027，556，458
這就相當(dāng)于做了20次試驗，在這組數(shù)中，如果恰有兩個數(shù)在1，2，3，4中，則表示恰有兩次投中，它們分別是812，932，271，191，393，即共有5個數(shù)，我們得到了三次投籃中恰有兩次投中的概率近似為解題后的思考：
(1)利用計算機或計算器做隨機模擬試驗，可以解決非古典概型的概率的求解問題.(2)對于上述試驗，如果親手做大量重復(fù)試驗的話，花費的時間太多，因此利用計算機或計算器做隨機模擬試驗可以大大節(jié)省時間.
(3)隨機函數(shù)(RANDBETWEEN)(a，b)產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機數(shù).
小結(jié)：能夠簡單的體會模擬試驗求解非古典概型概率的方法和步驟.高考對這部分內(nèi)容不作更多的要求，了解即可.5=25%.20
【同步練習(xí)題】
1.(2014•惠州調(diào)研)一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1個球，然后放回袋中再取出1個球，則取出的2個球同色的概率為()
A.12；B.13；C.14；D.25
答案：A[把紅球標(biāo)記為紅1、紅2，白球標(biāo)記為白1、白2，本試驗的基本事件共有16個，其中2個球同色的事件有8個：紅1，紅1，紅1、紅2，紅2、紅1，紅2、紅2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率為P=816=12.]
2.(2013•江西高考)集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是
()
A.23B.12C.13D.16
答案：C[從A，B中各任取一個數(shù)有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6種情況，其中兩個數(shù)之和為4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率為26=13.故選C.]
3.(2014•宿州質(zhì)檢)一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面上的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6，將這一顆骰子連續(xù)拋擲三次，觀察向上的點數(shù)，則三次點數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()
A.112B.118C.136D.7108
答案：A[基本事件總數(shù)為6×6×6，事件“三次點數(shù)依次成等差數(shù)列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18個，所求事件的概率P=186×6×6=112.]
4.(2013•安徽高考)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為
()
A.23B.25C.35D.910
答案：D[五人錄用三人共有10種不同方式，分別為：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}.
其中含甲或乙的情況有9種，故選D.]
5.(理)(2014•安徽示范高中聯(lián)考)在棱長分別為1，2，3的長方體上隨機選取兩個相異頂點，若每個頂點被選取的概率相同，則選到兩個頂點的距離大于3的概率為()
A.47B.37C.27D.314
答案：B[從8個頂點中任取兩點有C28=28種取法，其線段長分別為1，2，3，5，10，13，14.①其中12條棱長度都小于等于3;②其中4條，棱長為1，2的面對角線長度為5<3;故長度大于3的有28-12-4=12，故兩點距離大于3的概率為12C28=37，故選B.]
