一、定義法
對于“?圯”,可以簡單的記為箭頭所指為必要,箭尾所指為充分。在解答此類題目時,利用定義直接推導,一定要抓住命題的條件和結論的四種關系的定義。
例1已知p:-2
分析條件p確定了m,n的范圍,結論q則明確了方程的根的特點,且m,n作為系數(shù),因此理應聯(lián)想到根與系數(shù)的關系,然后再進一步化簡。
解設x1,x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根,即0
而對于滿足條件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并無實根,所以pq。
綜上,可知p是q的必要但不充分條件。
點評解決條件判斷問題時,務必分清誰是條件,誰是結論,然后既要嘗試由條件能否推出結論,也要嘗試由結論能否推出條件,這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷。
二、集合法
如果將命題p,q分別看作兩個集合A與B,用集合意識解釋條件,則有:①若A?哿B,則x∈A是x∈B的充分條件,x∈B是x∈A的必要條件;②若A?芴B,則x∈A是x∈B的充分不必要條件,x∈B是x∈A的必要不充分條件;③若A=B,則x∈A和x∈B互為充要條件;④若A?芫B且A?蕓B,則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件。
三、逆否法
利用互為逆否命題的等價關系,應用“正難則反”的數(shù)學思想,將判斷“p?圯q”轉化為判斷“非q非p”的真假。
例3(1)判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么條件;
(2)判斷p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么條件。
解(1)原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么條件。
顯然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要條件。
(2)原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么條件。
因為非p?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分條件。
點評當命題含有否定詞時,可考慮通過逆否命題等價轉化判斷。
