【一】
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)
1．給出下列四個命題：①函數(shù)f(x)＝3x－6的零點是2；②函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋4的零點是－2；③函數(shù)f(x)＝log3(x－1)的零點是1，④函數(shù)f(x)＝2x－1的零點是0，其中正確的個數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
[答案]C
[解析]當(dāng)log3(x－1)＝0時，x－1＝1，∴x＝2，故③錯，其余都對．
2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,4]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且方程f(x)＝0在(0,4)內(nèi)僅有一個實數(shù)根，則f(0)•f(4)的值()
A．大于0B．小于0
C．等于0D．無法判斷
[答案]D
[解析]如圖(1)和(2)都滿足題設(shè)條件．
3．函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點是－1(a≠0)，則函數(shù)g(x)＝ax2＋bx的零點是()
A．－1B．0
C．－1和0D．1和0
[答案]C
[解析]由條件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零點為0和－1.
4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的區(qū)間是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
[答案]B
[解析]∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0
∴f(x)在(1,2)內(nèi)必有零點．
5．某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定購物付款總額，
�、偃绻怀^200元，則不予優(yōu)惠．
�、谌绻^200元，但不超過500元，則按標(biāo)準(zhǔn)價給予9折優(yōu)惠．
�、廴绻^500元，則其500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠．
某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)他只去購買上述同樣的商品，則應(yīng)付款是()
A．413.7元B．513.6元
C．546.6元D．548.7元
[答案]C
[解析]兩次購物標(biāo)價款：168＋4230.9＝168＋470＝638(元)，
實際應(yīng)付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．
7．(08•山東文)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a、b滿足的關(guān)系是()
A．0 B．0 C．0 D．0 [答案]A [解析]令g(x)＝2x＋b－1，則函數(shù)g(x)為增函數(shù)，又由圖象可知，函數(shù)f(x)為增函數(shù)， ∴a>1，又當(dāng)x＝0時，－1 ∴－1 8．一個機器人每一秒鐘前進或后退一步，程序設(shè)計師讓機器人先前進3步再后退2步的規(guī)律移動，如果將機器人放在數(shù)軸的原點，面向正的方向以一步的距離為一個單位長度．令P(n)表示第n秒時機器人所在位置的坐標(biāo)，且記P(0)＝0，則下列結(jié)論中錯誤的是() A．P(3)＝3B．P(5)＝1 C．P(2003)>P(2005)D．P(2007)>P(2008) [答案]D [解析]機器人程序為前進3步、后退2步，則P(3)＝3，P(5)＝1均正確，即5步等于前進了一個單位長度， ∴p(2003)＝P(2000)＋P(3)＝403， P(2005)＝P(2000)＋P(5)＝401， ∴P(2003)>P(2005)正確． 又P(2007)＝P(2005)＋P(2)＝403， P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404， ∴P(2007)>P(2008)錯誤． 9．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，則它的一個可能的解析式為() A．y＝2xB．y＝4－4x＋1 C．y＝log3(x＋1)D．y＝x13(x≥0) [答案]B [解析]由于過(1,2)點，排除C、D；由圖象與直線y＝4無限接近，但到達不了，即y＜4知排除A，∴選B. 10．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應(yīng)值如表. x－3－2－1012345… y－24－1006860－10－24… 則使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范圍是() A．(－10，－1)∪(1＋∞) B．(－∞，－1)∪(3＋∞) C．(－1,3) D．(0，＋∞) [答案]C [解析]由表可知f(x)的兩個零點為－1和3，當(dāng)－1＜x＜3時f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范圍是(－1,3)． 11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的個數(shù)是() A．0B．1C．2D．3 [答案]C [解析]由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1. 12．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有兩個不同實數(shù)根，則m的取值范圍是() A．m＞1B．0＜m＜1 C．m＞0D．m＞2 [答案]A [解析]方程mx－x－m＝0有兩個不同實數(shù)根，等價于函數(shù)y＝mx與y＝x＋m的圖象有兩個不同的交點．顯然當(dāng)m＞1時，如圖(1)有兩個不同交點當(dāng)O＜m＜1時，如圖(2)有且僅有一個交點．故選A. 第Ⅱ卷(非選擇題共90分) 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上) 13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的圖象如圖所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，則下列關(guān)于f(x)＝0的解敘述正確的是________． �、儆腥齻�實根； ②x＞1時恰有一實根； �、郛�(dāng)0＜x＜1時恰有一實根； �、墚�(dāng)－1＜x＜0時恰有一實根； �、莓�(dāng)x＜－1時恰有一實根(有且僅有一實根)． [答案]①⑤ [解析]f(x)的圖象是將函數(shù)y＝x(x－1)(x＋1)的圖象向上平移0.01個單位得到．故f(x)的圖象與x軸有三個交點，它們分別在區(qū)間(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)內(nèi)，故只有①⑤正確． 14．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它們需用的時間依次2、5、x、4天，四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：A、B可以同時開工；A完成后，C可以開工；B、C完成后，D可以開工，若完成該工程總時間數(shù)為9天，則完成工序C需要的天數(shù)x大為________． [答案]3 [解析]如圖， 設(shè)工程所用總天數(shù)為f(x)，則由題意得： 當(dāng)x≤3時，f(x)＝5＋4＝9， 當(dāng)x>3時，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x， ∴f(x)＝9x≤36＋xx>3， ∵工程所用總天數(shù)f(x)＝9， ∴x≤3，∴x大值為3. 15．已知拋物線y＝ax2與直線y＝kx＋1交于兩點，其中一點坐標(biāo)為(1,4)，則另一個點的坐標(biāo)為______． [答案](－14，14) [解析]由條件知a×12＝4k＋1＝4∴a＝4k＝3 由y＝4x2y＝3x＋1得，y＝－14y＝14或x＝1y＝4. 16．已知函數(shù)f(x)＝3x(x≤0)log9x(x＞0)，則方程f(x)＝13的解為________． [答案]－1或39. [解析]由條件知3x＝13x≤0或log9x＝13x＞0 ∴x＝－1或x＝39 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)方程x2－1x＝0在(－∞，0)內(nèi)是否存在實數(shù)解？并說明理由． [解析]不存在，因為當(dāng)x＜0時，－1x＞0 ∴x2－1x＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－1x＝0. 18．(本題滿分12分)北京市的一家報刊攤點，從報社買進《北京日報》的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退回報社．在一個月(30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤大？并計算他一個月多可賺得多少元？ [解析]設(shè)每天從報社買進x份報紙，每月獲得的總利潤為y元，則依題意有 y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250) ＝0.5x＋625，x∈[250,400]． 該函數(shù)在[250,400]上單調(diào)遞增，所以x＝400時，ymax＝825(元)． 答：攤主每天從報社買進400份時，每月所獲得的利潤大，大利潤為825元． 19．(本題滿分12分)電信局為了配合客戶不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付電話費(元)與通話時間(分鐘)之間的關(guān)系，如下圖所示(實線部分)．(注：圖中MN∥CD.)試問： (1)若通話時間為2小時，按方案A、B各付話費多少元？ (2)方案B從500分鐘以后，每分鐘收費多少元？ (3)通話時間在什么范圍內(nèi)，方案B才會比方案A優(yōu)惠． [解析]由圖知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD. 設(shè)這兩種方案的應(yīng)付話費與通話時間的函數(shù)關(guān)系分別為fA(x)、fB(x)，則 fA(x)＝980≤x≤60，310x＋80x>60. fB(x)＝1680≤x≤500，310x＋18x>500. (1)通話2小時兩種方案的話費分別為116元、168元． (2)因為fB(n＋1)－fB(n)(n>500)＝310(n＋1)＋18－310n－18＝310＝0.3(元)． ∴方案B從500分鐘以后，每分鐘收費0.3元． (3)由圖知，當(dāng)0≤x≤60時，fA(x) 當(dāng)x>500時，fA(x)>fB(x)， ∴當(dāng)60 即當(dāng)通話時間在(8803，＋∞)內(nèi)時，方案B較A優(yōu)惠． 20．(本題滿分12分)若關(guān)于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有兩個不相等的實根，求分別滿足下列條件的a的取值范圍． (1)方程兩根都大于1； (2)方程一根大于1，另一根小于1. [解析]設(shè)f(x)＝x2－2ax＋2＋a (1)∵兩根都大于1， ∴Δ＝4a2－4(2＋a)>0a>1f(1)＝3－a>0，解得2 (2)∵方程一根大于1，一根小于1， ∴f(1)<0∴a>3. 21．(本題滿分12分)某化工廠生產(chǎn)的一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初時含雜質(zhì)2%，每過濾可使雜質(zhì)含量減少13，問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達到市場要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) [解析]設(shè)過濾n次，則2100•23n≤11000 即23n≤120，∴n≥lg120lg23＝1＋lg2lg3－lg2≈7.4 又∵n∈N， ∴n≥8，即至少要過濾8次才能達到市場要求． 22．(本題滿分14分)若二次函數(shù)y＝－x2＋mx－1的圖象與兩端點為A(0,3)、B(3,0)的線段AB有兩個不同的交點，求m的取值范圍． [分析]先求出線段AB的方程，之后將圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，再將方程組解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上有零點的問題，后通過不等式組求得m的取值范圍． [解析]線段AB的方程為x＋y＝3， 由題意得方程組x＋y＝3(0≤x≤3)①y＝－x2＋mx－1②在[0,3]上有兩組實數(shù)解． 將①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有兩個不同的實數(shù)根． 令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4.則二次函數(shù)f(x)在x∈[0,3]上有兩個實根，故有： Δ＝(m＋1)2－16＞0，0＜m＋12＜3，f(0)＝4＞0，f(3)＝9－3(m＋1)＋4≥0，解得3＜m≤103. 故m的取值范圍是(3，103]． [點評]本題可能會出現(xiàn)下面的錯解，令f(x)＝－x2＋mx－1. ∵f(0)＝－1＜0，f(x)的圖象開口向下，線段ABx＋y＝3(0≤x≤3) 如圖，要使f(x)的圖象與線段AB有兩個不同交點應(yīng)滿足． f(3)≤0f(m2)＞3－m20＜m2＜3，∴m≤103m＜－17－1或m＞17－10＜m＜6， ∴無解． 錯因是頂點在線段AB的上方與拋物線與線段AB有兩個交點不等價． 【二】 一、選擇題 1．方程x－1＝lgx必有一個根的區(qū)間是() A．(0.1,0.2)B．(0.2,0.3) C．(0.3,0.4)D．(0.4,0.5) [答案]A [解析]設(shè)f(x)＝x－1－lgx，f(0.1)＝0.1>0， f(0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0 ∴f(0.1)f(0.2)<0，故選A. 2．實數(shù)a、b、c是圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f(x)定義域中的三個數(shù)，且滿足a A．2B．奇數(shù) C．偶數(shù)D．至少是2 [答案]D [解析]由f(a)f(b)<0知y＝f(x)在(a，b)上至少有一實根，由f(b)f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有一實根，故y＝f(x)在(a，c)上至少有2實根． 3．已知函數(shù)f(x)＝ex－x2＋8x，則在下列區(qū)間中f(x)必有零點的是() A．(－2，－1)B．(－1,0) C．(0,1)D．(1,2) [答案]B [解析]f(－1)＝1e－9<0，f(0)＝e0＝1>0，故f(x)在(－1,0)上有一實數(shù)解，故選B. 4．某企業(yè)2008年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的p倍，則該企業(yè)2008年年度產(chǎn)值的月平均增長率為() A.pp－1B.11p－1 C.11pD.p－111 [答案]B [解析]設(shè)1月份產(chǎn)值為a，增長率為x，則 ap＝a(1＋x)11，∴x＝11p－1，故選B. 5．(09•福建文)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝1x有相同定義域的是() A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1x C．f(x)＝|x|D．f(x)＝ex [答案]A [解析]函數(shù)y＝1x的定義域為(0，＋∞)，故選A. 6．(09•寧夏海南文)用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的小值 設(shè)f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的大值為() A．4B．5C．6D．7 [答案]C [解析]由題意，可畫下圖：f(x)的大值在A點， 由y＝x＋2y＝10－x，得x＝4y＝6，∴f(x)的大值為6. 7．對任意實數(shù)x＞－1，f(x)是2x，log12(x＋1)和1－x中的大者，則f(x)的小值() A．在(0,1)內(nèi)B．等于1 C．在(1,2)內(nèi)D．等于2 [答案]B [解析]在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y＝2x，y＝log12(x＋1)，y＝1－x的圖象，由條件知f(x)的圖象是圖中實線部分，顯見f(x)的小值在y＝2x與y＝1－x交點(0,1)處取得． ∴小值為f(0)＝1. 8．(江門一中2009～2010高一期末)設(shè)f(x)＝2x－x－4，x0是函數(shù)f(x)的一個正數(shù)零點，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，則a＝() A．1B．2 C．3D．4 [答案]B [解析]由條件知，f(a)＝2a－a－4與f(a＋1)＝2a＋1－a－5異號，取a＝2，有f(2)＝22－2－4<0，f(3)＝23－2－5>0滿足，∴a＝2，故選B. 二、填空題 9．下圖是某縣農(nóng)村養(yǎng)雞行業(yè)發(fā)展規(guī)模的統(tǒng)計結(jié)果，那么此縣養(yǎng)雞只數(shù)多的那年有________萬只雞． [答案]31.2 [解析]2002年，30×1＝30萬只， 2003年，26×1.2＝31.2萬只， 2004年，22×1.4＝30.8萬只， 2005年，18×1.6＝28.8萬只， 2006年，14×1.8＝25.2萬只， 2007年，10×2＝20萬只． 10．函數(shù)y＝ax2－ax＋3x＋1的圖象與x軸有且只有一個交點，那么a的值的集合為________． [答案]{0,1,9} [解析]當(dāng)a＝0時，y＝3x＋1的圖象與x軸只有一個交點；當(dāng)a≠0時，由Δ＝(3－a)2－4a＝0得a＝1或9. 三、解答題 11．某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件．經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)，可近似看作函數(shù)y＝kx＋b的關(guān)系(如圖所示)． (1)根據(jù)圖象，求函數(shù)y＝kx＋b的表達式； (2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價－成本總價)為S元．①試用銷售單價x表示毛利潤S；②試問銷售單價定為多少時，該公司可獲得大毛利潤？大毛利潤是多少？此時的銷售量是多少？ [解析](1)由圖象知，當(dāng)x＝600時，y＝400；當(dāng)x＝700時，y＝300，代入y＝kx＋b中，得 400＝600k＋b，300＝700k＋b，解得k＝－1，b＝1000. ∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)． (2)銷售總價＝銷售單價×銷售量＝xy，成本總價＝成本單價×銷售量＝500y， 代入求毛利潤的公式，得 s＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000) �。剑瓁2＋1500x－500000 ＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)． ∴當(dāng)銷售單價為750元/件時，可獲得大毛利潤62500元，此時銷售量為250件． 12．2005年1月6日，我國的第13億個小公民在北京誕生，若今后能將人口年平均遞增率控制在1%，經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y(億)． (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)； (2)求函數(shù)y＝f(x)的定義域； (3)判斷函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出在這里函數(shù)增減有什么實際意義． [分析]關(guān)鍵是理解年遞增率的意義 2005年人口數(shù)為13(億) 經(jīng)過1年，2006年人口數(shù)為13＋13×1%＝13(1＋1%)(億) 經(jīng)過2年，2007年人口數(shù)為13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(億)． 經(jīng)過3年，2008年人口數(shù)為13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(億)． [解析](1)由題設(shè)條件知，經(jīng)過x年后我國人口總數(shù)為13(1＋1%)x(億)． ∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x. (2)∵此問題以年作為單位時間，∴此函數(shù)的定義域是N*. (3)y＝13(1＋1%)x是指數(shù)型函數(shù)， ∵1＋1%＞1,13＞0，∴y＝13(1＋1%)x是增函數(shù)， 即只要遞增率為正數(shù)時，隨著時間的推移，人口的總數(shù)總在增長．
