(2)∵方程一根大于1,一根小于1,
∴f(1)<0∴a>3.
21.(本題滿分12分)某化工廠生產(chǎn)的一種溶液,按市場要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初時含雜質(zhì)2%,每過濾可使雜質(zhì)含量減少13,問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達到市場要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)
[解析]設(shè)過濾n次,則2100•23n≤11000
即23n≤120,∴n≥lg120lg23=1+lg2lg3-lg2≈7.4
又∵n∈N,
∴n≥8,即至少要過濾8次才能達到市場要求.
22.(本題滿分14分)若二次函數(shù)y=-x2+mx-1的圖象與兩端點為A(0,3)、B(3,0)的線段AB有兩個不同的交點,求m的取值范圍.
[分析]先求出線段AB的方程,之后將圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題,再將方程組解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上有零點的問題,后通過不等式組求得m的取值范圍.
[解析]線段AB的方程為x+y=3,
由題意得方程組x+y=3(0≤x≤3)①y=-x2+mx-1②在[0,3]上有兩組實數(shù)解.
將①代入②得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3),此方程有兩個不同的實數(shù)根.
令f(x)=x2-(m+1)x+4.則二次函數(shù)f(x)在x∈[0,3]上有兩個實根,故有:
Δ=(m+1)2-16>0,0<m+12<3,f(0)=4>0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0,解得3<m≤103.
故m的取值范圍是(3,103].
[點評]本題可能會出現(xiàn)下面的錯解,令f(x)=-x2+mx-1.
∵f(0)=-1<0,f(x)的圖象開口向下,線段ABx+y=3(0≤x≤3)
如圖,要使f(x)的圖象與線段AB有兩個不同交點應(yīng)滿足.
f(3)≤0f(m2)>3-m20<m2<3,∴m≤103m<-17-1或m>17-10<m<6,
∴無解.
錯因是頂點在線段AB的上方與拋物線與線段AB有兩個交點不等價.
【二】
一、選擇題
1.方程x-1=lgx必有一個根的區(qū)間是()
A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)
C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)
[答案]A
[解析]設(shè)f(x)=x-1-lgx,f(0.1)=0.1>0,
f(0.2)=0.2-1-lg0.2=0.2-lg2<0
∴f(0.1)f(0.2)<0,故選A.
2.實數(shù)a、b、c是圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x)定義域中的三個數(shù),且滿足a
A.2B.奇數(shù)
C.偶數(shù)D.至少是2
[答案]D
[解析]由f(a)f(b)<0知y=f(x)在(a,b)上至少有一實根,由f(b)f(c)<0知y=f(x)在(b,c)上至少有一實根,故y=f(x)在(a,c)上至少有2實根.
3.已知函數(shù)f(x)=ex-x2+8x,則在下列區(qū)間中f(x)必有零點的是()
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
[答案]B
[解析]f(-1)=1e-9<0,f(0)=e0=1>0,故f(x)在(-1,0)上有一實數(shù)解,故選B.
4.某企業(yè)2008年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的p倍,則該企業(yè)2008年年度產(chǎn)值的月平均增長率為()
A.pp-1B.11p-1
C.11pD.p-111
[答案]B
[解析]設(shè)1月份產(chǎn)值為a,增長率為x,則
ap=a(1+x)11,∴x=11p-1,故選B.
5.(09•福建文)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=1x有相同定義域的是()
A.f(x)=lnxB.f(x)=1x
C.f(x)=|x|D.f(x)=ex
[答案]A
[解析]函數(shù)y=1x的定義域為(0,+∞),故選A.
6.(09•寧夏海南文)用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的小值
設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的大值為()
A.4B.5C.6D.7
[答案]C
[解析]由題意,可畫下圖:f(x)的大值在A點,
由y=x+2y=10-x,得x=4y=6,∴f(x)的大值為6.
7.對任意實數(shù)x>-1,f(x)是2x,log12(x+1)和1-x中的大者,則f(x)的小值()
A.在(0,1)內(nèi)B.等于1
C.在(1,2)內(nèi)D.等于2
[答案]B
[解析]在同一坐標(biāo)系中,作出函數(shù)y=2x,y=log12(x+1),y=1-x的圖象,由條件知f(x)的圖象是圖中實線部分,顯見f(x)的小值在y=2x與y=1-x交點(0,1)處取得.
∴小值為f(0)=1.
8.(江門一中2009~2010高一期末)設(shè)f(x)=2x-x-4,x0是函數(shù)f(x)的一個正數(shù)零點,且x0∈(a,a+1),其中a∈N,則a=()
A.1B.2
C.3D.4
[答案]B
[解析]由條件知,f(a)=2a-a-4與f(a+1)=2a+1-a-5異號,取a=2,有f(2)=22-2-4<0,f(3)=23-2-5>0滿足,∴a=2,故選B.
二、填空題
9.下圖是某縣農(nóng)村養(yǎng)雞行業(yè)發(fā)展規(guī)模的統(tǒng)計結(jié)果,那么此縣養(yǎng)雞只數(shù)多的那年有________萬只雞.
[答案]31.2
[解析]2002年,30×1=30萬只,
2003年,26×1.2=31.2萬只,
2004年,22×1.4=30.8萬只,
2005年,18×1.6=28.8萬只,
2006年,14×1.8=25.2萬只,
2007年,10×2=20萬只.
10.函數(shù)y=ax2-ax+3x+1的圖象與x軸有且只有一個交點,那么a的值的集合為________.
[答案]{0,1,9}
[解析]當(dāng)a=0時,y=3x+1的圖象與x軸只有一個交點;當(dāng)a≠0時,由Δ=(3-a)2-4a=0得a=1或9.
三、解答題
11.某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件.經(jīng)試銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件),可近似看作函數(shù)y=kx+b的關(guān)系(如圖所示).
(1)根據(jù)圖象,求函數(shù)y=kx+b的表達式;
(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價-成本總價)為S元.①試用銷售單價x表示毛利潤S;②試問銷售單價定為多少時,該公司可獲得大毛利潤?大毛利潤是多少?此時的銷售量是多少?
[解析](1)由圖象知,當(dāng)x=600時,y=400;當(dāng)x=700時,y=300,代入y=kx+b中,得
400=600k+b,300=700k+b,解得k=-1,b=1000.
∴y=-x+1000(500≤x≤800).
(2)銷售總價=銷售單價×銷售量=xy,成本總價=成本單價×銷售量=500y,
代入求毛利潤的公式,得
s=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)
。剑瓁2+1500x-500000
=-(x-750)2+62500(500≤x≤800).
∴當(dāng)銷售單價為750元/件時,可獲得大毛利潤62500元,此時銷售量為250件.
12.2005年1月6日,我國的第13億個小公民在北京誕生,若今后能將人口年平均遞增率控制在1%,經(jīng)過x年后,我國人口數(shù)為y(億).
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系y=f(x);
(2)求函數(shù)y=f(x)的定義域;
(3)判斷函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?并指出在這里函數(shù)增減有什么實際意義.
[分析]關(guān)鍵是理解年遞增率的意義
2005年人口數(shù)為13(億)
經(jīng)過1年,2006年人口數(shù)為13+13×1%=13(1+1%)(億)
經(jīng)過2年,2007年人口數(shù)為13(1+1%)+13(1+1%)×1%=13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2(億).
經(jīng)過3年,2008年人口數(shù)為13(1+1%)2+13(1+1%)2×1%=13(1+1%)3(億).
[解析](1)由題設(shè)條件知,經(jīng)過x年后我國人口總數(shù)為13(1+1%)x(億).
∴y=f(x)=13(1+1%)x.
(2)∵此問題以年作為單位時間,∴此函數(shù)的定義域是N*.
(3)y=13(1+1%)x是指數(shù)型函數(shù),
∵1+1%>1,13>0,∴y=13(1+1%)x是增函數(shù),
即只要遞增率為正數(shù)時,隨著時間的推移,人口的總數(shù)總在增長.