【一】
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)
1．(2016•菏澤市高一檢測)以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于導(dǎo)學(xué)號09024213(A)
A．2πB．πC．2D．1
[解析]所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為1的圓柱，其側(cè)面積S側(cè)＝2πRh＝2π×1×1＝2π.
2．設(shè)球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是導(dǎo)學(xué)號09024214(C)
A．1︰1B．2︰1C．3︰2D．4︰3
[解析]∵圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，設(shè)球的直徑為2R，則圓柱全面積S1＝2πR2＋2πR•2R＝6πR2，球表面積S2＝4πR2，∴S1S2＝32.
3．已知一個底面是菱形、側(cè)面是矩形的四棱柱，側(cè)棱長為5，菱形的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是導(dǎo)學(xué)號09024215(A)
A．3034B．6034C．3034＋135D．135
[解析]由菱形的對角線長分別是9和15，得菱形的邊長為922＋1522＝3234，則這個菱柱的側(cè)面積為4×3234×5＝3034.
4．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1︰V2＝導(dǎo)學(xué)號09024216(D)
A．1︰3B．1︰1C．2︰1D．3︰1
[解析]V1︰V2＝(Sh)︰(13Sh)＝3︰1.
5．(2016•壽光現(xiàn)代中學(xué)高一月考)若兩個球的表面積之比為1︰4，則這兩個球的體積之比為導(dǎo)學(xué)號09024217(C)
A．1︰2B．1︰4C．1︰8D．1︰16
[解析]設(shè)兩個球的半徑分別為r1、r2，
∴S1＝4πr21，S2＝4πr22.
∴S1S2＝r21r22＝14，∴r1r2＝12.∴V1V2＝43πr3143πr32＝(r1r2)3＝18.
6．如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△OAB的面積為導(dǎo)學(xué)號09024218(D)
A．6B．32C．62D．12
[解析]△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝12×6×4＝12.
7．(2017•北京文，6)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為導(dǎo)學(xué)號09024219(D)
A．60B．30C．20D．10
[解析]由三視圖畫出如圖所示的三棱錐P－ACD，過點P作PB⊥平面ACD于點B，連接BA，BD，BC，根據(jù)三視圖可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱錐P－ACD＝13×12×3×5×4＝10.故選D．
8．若一圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比為導(dǎo)學(xué)號09024220(D)
A．1B．12C．32D．34
[解析]設(shè)圓柱與圓錐的底半徑分別為R，r，高都是h，由題設(shè)，2R•h＝12×2r•h，
∴r＝2R，V柱＝πR2h，V錐＝13πr2h＝43πR2h，
∴V柱V錐＝34，選D．
9．半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為導(dǎo)學(xué)號09024221(A)
A．324πR3B．38πR3C．525πR3D．58πR3
[解析]依題意，得圓錐的底面周長為πR，母線長為R，則底面半徑為R2，高為32R，所以圓錐的體積為13×π×(R2)2×32R＝324πR3.
10．(2015•全國卷)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有導(dǎo)學(xué)號09024222(B)
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
[解析]設(shè)圓錐底面半徑為r，則14×2×3r＝8，∴r＝163，所以米堆的體積為14×13×3×(163)2×5＝3209，故堆放的米約為3209÷1.62≈22，故選B．
11．已知底面為正三角形，側(cè)面為矩形的三棱柱有一個半徑為3cm的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是導(dǎo)學(xué)號09024223(B)
A．93cm3B．54cm3C．27cm3D．183cm3
[解析]由題意知棱柱的高為23cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為3cm，∴底面正三角形的邊長為6cm，正三棱柱的底面面積為93cm2，∴此三棱柱的體積V＝93×23＝54(cm3)．
12．(2016•山東，文)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為導(dǎo)學(xué)號09024224(C)
A．13＋23πB．13＋23πC．13＋26πD．1＋26π
[解析]根據(jù)三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形、高是1，半球的半徑為22，所以該幾何體的體積為13×1×1×1＋12×43π(22)3＝13＋26π.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．如圖是△AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖，則△AOB的面積是__16__.
導(dǎo)學(xué)號09024225
[解析]在△AOB中，OB＝4，高為8，則面積S＝12×4×8＝16.
14．圓柱的高是8cm，表面積是130πcm2，則它的底面圓的半徑等于__5__cm.導(dǎo)學(xué)號09024226
[解析]設(shè)底面圓的半徑為r，由題意得2πrh＋2πr2＝130π，
即r2＋8r－65＝0，解得r＝5.
15．棱錐的高為16，底面積為512，平行于底面的截面面積為50，則截得的棱臺的高為__11__.導(dǎo)學(xué)號09024227
[解析]設(shè)棱臺的高為x，則有(16－x16)2＝50512，解之，得x＝11.
16．(2017•山東理，13)由一個長方體和兩個14圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為__2＋π2__.導(dǎo)學(xué)號09024228
[解析]該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成，∴V＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.
三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是1︰4，母線長為10cm.求圓錐的母線長.導(dǎo)學(xué)號09024229
[解析]如圖，設(shè)圓錐母線長為l，則l－10l＝14，所以l＝403cm.
18．(本小題滿分12分)如圖所示，四棱錐V－ABCD的底面為邊長等于2cm的正方形，頂點V與底面正方形中心的連線為棱錐的高，側(cè)棱長VC＝4cm，求這個四棱錐的體積.導(dǎo)學(xué)號09024230
[解析]如圖，連接AC、BD相交于點O，連接VO，
∵AB＝BC＝2cm，
在正方形ABCD中，
求得CO＝2cm，
又在直角三角形VOC中，
求得VO＝14cm，
∴VV－ABCD＝13SABCD•VO＝13×4×14＝4143(cm3)．
故這個四棱錐的體積為4143cm3.
19．(本小題滿分12分)如下圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由.導(dǎo)學(xué)號09024231
[解析]因為V半球＝12×43πR3＝12×43×π×43≈134(cm3)，
V圓錐＝13πr2h＝13π×42×12≈201(cm3)，
134<201，
所以V半球 所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子． 20．(本小題滿分12分)已知某幾何體的側(cè)視圖與其正視圖相同，相關(guān)的尺寸如圖所示，求這個幾何體的體積.導(dǎo)學(xué)號09024232 [解析]由三視圖可知，該幾何體是大圓柱內(nèi)挖掉了小圓柱，兩個圓柱高均為1，底面是半徑為2和32的同心圓，故該幾何體的體積為4π×1－π(32)2×1＝7π4. 21．(本小題滿分12分)據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．試計算出圖案中圓錐、球、圓柱的體積比.導(dǎo)學(xué)號09024233 [解析]設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則V圓柱＝πr2h. 由題意知圓錐的底面半徑為r，高為h，球的半徑為r， ∴V圓錐＝13πr2h， ∴V球＝43πr3. 又h＝2r， ∴V圓錐︰V球︰V圓柱＝(13πr2h)︰(43πr3)︰(πr2h)＝(23πr3)︰(43πr3)︰(2πr3)＝1︰2︰3. 22．(本小題滿分12分)如圖所示，有一塊扇形鐵皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下來一個扇形環(huán)ABCD，作圓臺形容器的側(cè)面，并且余下的扇形OCD內(nèi)剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺形容器的下底面(大底面).導(dǎo)學(xué)號09024234 試求：(1)AD的長； (2)容器的容積． [解析](1)設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為r、R，AD＝x， 則OD＝72－x，由題意得 2πR＝60•π180×7272－x＝3R，∴R＝12x＝36. 即AD應(yīng)取36cm. (2)∵2πr＝π3•OD＝π3•36，∴r＝6cm， 圓臺的高h(yuǎn)＝x2－R－r2＝362－12－62＝635. ∴V＝13πh(R2＋Rr＋r2)＝13π•635•(122＋12×6＋62) ＝50435π(cm3)． 【二】 第Ⅰ卷(選擇題共60分) 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．直線l1∥l2，在l1上取3個點，在l2上取2個點，由這5個點能確定平面的個數(shù)為導(dǎo)學(xué)號09024609(D) A．5B．4C．9D．1 [解析]由經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面可知分別在兩平行直線上的5個點只能確定一個平面． 2．教室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面總有這樣的直線，使得它與直尺所在直線導(dǎo)學(xué)號09024610(B) A．平行B．垂直C．相交D．異面 [解析]當(dāng)直尺垂直于地面時，A不對；當(dāng)直尺平行于地面時，C不對；當(dāng)直尺位于地面上時，D不對． 3．已知m、n是兩條不同直線，α、β是兩個不同平面，則下列命題正確的是導(dǎo)學(xué)號09024611(D) A．若α、β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m、n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α、β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m、n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 [解析]A項，α、β可能相交，故錯誤； B項，直線m、n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤； C項，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤； D項，假設(shè)m、n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項正確． 4．(2016～2017•棗莊高一檢測)△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是導(dǎo)學(xué)號09024612(B) A．相交B．平行C．異面D．不確定 [解析]l⊥ABl⊥ACAB∩AC＝A⇒l⊥平面ABCm⊥BCm⊥ACAC∩BC＝C⇒m⊥平面ABCl∥m 5．已知α、β是兩個平面，直線l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中兩個為條件，另一個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，則其中正確的命題有導(dǎo)學(xué)號09024613(A) A．①③⇒②；①②⇒③ B．①③⇒②；②③⇒① C．①②⇒③；②③⇒① D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒① [解析]因為α⊥β，所以在β內(nèi)找到一條直線m，使m⊥α， 又因為l⊥α，所以l∥m.又因為l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②； 因為l∥β，所以過l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n， 又因為l⊥α，所以n⊥α， 又因為n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③. 6．設(shè)直線l⊂平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有導(dǎo)學(xué)號09024614(B) A．1條B．2條C．3條D．4條 [解析]如圖，和α成30°角的直線一定是以A為頂點的圓錐的母線所在直線，當(dāng)∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l時，直線AC，AB都滿足條件，故選B． 7．(2016～2017•浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直線l.若直線m、n滿足m∥α，n⊥β，則導(dǎo)學(xué)號09024615(C) A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n [解析]選項A，只有當(dāng)m∥β或m⊂β時，m∥l；選項B，只有當(dāng)m⊥β時，m∥n；選項C，由于l⊂β，∴n⊥l；選項D，只有當(dāng)m∥β或m⊂β時，m⊥n，故選C． 8．(2016•南安一中高一檢測)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC與MN所成的角為導(dǎo)學(xué)號09024616(C) A．30°B．45°C．60°D．90° [解析]如圖，連接A1C1、BC1、A1B. ∵M(jìn)、N分別為棱BC和棱CC1的中點， ∴MN∥BC1. 又A1C1∥AC， ∴∠A1C1B為異面直線AC與MN所成的角． ∵△A1BC1為正三角形， ∴∠A1C1B＝60°.故選C． 9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C－BM－A的大小為導(dǎo)學(xué)號09024617(C) A．30°B．60°C．90°D．120° [解析]如圖，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝2. ∵M(jìn)為A′C的中點，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM， ∴∠CMA為二面角C－BM－A的平面角． ∵AC＝1，MC＝MA＝22，∴MC2＋MA2＝AC2， ∴∠CMA＝90°，故選C． 10．點P在正方體側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且保持AP⊥BD1，則點P的軌跡為導(dǎo)學(xué)號09024618(A) A．線段B1C B．BB1的中點與CC1的中點連成的線段 C．線段BC1 D．BC的中點與B1C1的中點連成的線段 [解析]∵AP⊥BD1恒成立， ∴要保證AP所在的平面始終垂直于BD1. ∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A， ∴BD1⊥面AB1C，∴P點在線段B1C上運動． 11．如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距離分別是a和b，AB與α、β所成的角分別是θ和φ，AB在α、β內(nèi)的射影長分別是m和n，若a＞b，則導(dǎo)學(xué)號09024619(D) A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n [解析]由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2. 又a＞b，∴m＞n. 由已知得sinθ＝bAB，sinφ＝aAB，而a＞b， ∴sinθ＜sinφ， 又θ，φ∈(0，π2)，∴θ＜φ. 12．如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點E、F、H、K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點，G為△ABC的重心，從K、H、G、B′中取一點作為P，使得該三棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則點P為導(dǎo)學(xué)號09024620(C) A．KB．HC．GD．B′ [解析]應(yīng)用驗證法：選G點為P時，EF∥A′B′且EF∥AB，此時恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故選C． 第Ⅱ卷(非選擇題共90分) 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是__直角三角形__.導(dǎo)學(xué)號09024621 [解析]如圖，過點A作AE⊥BD，E為垂足． ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC. 又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC. 又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD， ∴BC⊥AB. ∴△ABC為直角三角形． 14．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN等于__90°__.導(dǎo)學(xué)號09024622 [解析]因為C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN. 又因為MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1， 所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°. 15．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足__DM⊥PC(或BM⊥PC)__時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可).導(dǎo)學(xué)號09024623 [解析]連接AC，則BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.故當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，平面MBD⊥平面PCD. 16．(2017•全國卷Ⅰ文，16)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為__36π__.導(dǎo)學(xué)號09024624 [解析]如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S－ABC的體積V＝13×(12SC•OB)•OA＝r33， 即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π. 三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)(2017•山東文，18)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD.導(dǎo)學(xué)號09024625 (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. [解析](1)證明：取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C， 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)證明：因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點， 所以EM⊥BD. 又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因為B1D1∥BD， 所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1. 又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1⊂平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 18．(本小題滿分12分)(2016～2017•寧波高二檢測)如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面四邊形ABCD為菱形，AB＝2，BD＝23，M，N分別是線段PA，PC的中點.導(dǎo)學(xué)號09024626 (1)求證：MN∥平面ABCD； (2)求異面直線MN與BC所成角的大�。� [解析](1)連接AC，交BD于點O. 因為M，N分別是PA，PC的中點，所以MN∥AC. 因為MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD. (2)由(1)知MN∥AC，∴∠ACB為異面直線MN與BC所成的角． ∵四邊形ABCD為菱形，邊長AB＝2，對角線長BD＝23， ∴△BOC為直角三角形，且sin∠ACB＝BOBC＝32， ∴∠ACB＝60°. 即異面直線MN與BC所成的角為60°. 19．(本小題滿分12分)(2017•北京文，18)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.導(dǎo)學(xué)號09024627 (1)求證：PA⊥BD； (2)求證：平面BDE⊥平面PAC； (3)當(dāng)PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積． [解析](1)證明：因為PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC. 又因為BD⊂平面ABC， 所以PA⊥BD. (2)證明：因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC， 所以平面BDE⊥平面PAC. (3)解：因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE， 所以PA∥DE. 因為D為AC的中點， 所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝2. 由(1)知，PA⊥平面ABC， 所以DE⊥平面ABC， 所以三棱錐E－BCD的體積V＝16BD•DC•DE＝13. 20．(本小題滿分12分)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.導(dǎo)學(xué)號09024628 (1)請按字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點處(不需要說明理由)； (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系．并說明你的結(jié)論； (3)證明：直線DF⊥平面BEG. [解析](1)點F、G、H的位置如圖所示． (2)平面BEC∥平面ACH.證明如下： 因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG， 又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH， 于是四邊形BCEH為平行四邊形， 所以BE∥CH， 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH， 所以BE∥平面ACH， 同理，BG∥平面ACH， 又BE∩BG＝B， 所以平面BEG∥平面ACH. (3)連接FH交EG于點O，連接BD. 因為ABCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH， 因為EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG， 又EG⊥FH，EG∩FH＝O， 所以EG⊥平面BFHD， 又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG， 同理DF⊥BG， 又EG∩BG＝G， 所以DF⊥平面BEG. 21．(本小題滿分12分)(2017•天津文，17)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.導(dǎo)學(xué)號09024629 (1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值； (2)求證：PD⊥平面PBC； (3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值． [解析](1)解：如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角． 因為AD⊥平面PDC，直線PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5， 故cos∠DAP＝ADAP＝55. 所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為55. (2)證明：由(1)知AD⊥PD.又因為BC∥AD，所以PD⊥BC. 又PD⊥PB，PB∩BC＝B， 所以PD⊥平面PBC. (3)解：過點D作DF∥AB，交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角． 因為PD⊥平面PBC， 所以PF為DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1. 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，所以BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25， 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55. 所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為55. 22．(本小題滿分12分)(2016～2017•濟(jì)寧高一檢測)四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為AC和PB上的點，它的直觀圖，正視圖，側(cè)視圖．如圖所示.導(dǎo)學(xué)號09024630 (1)求EF與平面ABCD所成角的大小； (2)求二面角B－PA－C的大小． [解析]根據(jù)三視圖可知：PA垂直于平面ABCD，點E，F(xiàn)分別為AC和PB的中點，ABCD是邊長為4的正方形，且PA＝4. (1)如圖，取AB中點G，連接FG，GE，則FG∥PA，GE∥BC，所以FG⊥平面ABCD，∠FEG為EF與平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，F(xiàn)G＝2，GE＝2，所以∠FEG＝45°. (2)因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA， 所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角． 又因為∠BAC＝45°， 所以二面角B－AP－C的平面角的大小為45°.
