【一】
重點難點講解：
1.回歸分析：
就是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系形式進行測定，確定一個相關(guān)的數(shù)學表達式，以便進行估計預測的統(tǒng)計分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的數(shù)學表達式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。
2.線性回歸方程
設x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應于n組觀測值的n個點(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。
其中。
3.線性相關(guān)性檢驗
線性相關(guān)性檢驗是一種假設檢驗，它給出了一個具體檢驗y與x之間線性相關(guān)與否的辦法。
�、僭谡n本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測值組數(shù))相應的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05。
�、谟晒�，計算r的值。
�、蹤z驗所得結(jié)果
如果|r|≤r0.05，可以認為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，接受統(tǒng)計假設。
如果|r|>r0.05，可以認為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設是不成立的，即y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。
典型例題講解：
例1.從某班50名學生中隨機抽取10名，測得其數(shù)學考試成績與物理考試成績資料如表：序號12345678910數(shù)學成績54666876788285879094，物理成績61806286847685828896試建立該10名學生的物理成績對數(shù)學成績的線性回歸模型。
解：設數(shù)學成績?yōu)閤，物理成績?yōu)�，則可設所求線性回歸模型為，
計算，代入公式得∴所求線性回歸模型為=0.74x+22.28。
說明：將自變量x的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應的因變量的估計值，由回歸模型知：數(shù)學成績每增加1分，物理成績平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對自己班的數(shù)學、化學成績進行分析。
例2.假設關(guān)于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0
若由資料可知y對x成線性相關(guān)關(guān)系。試求：
(1)線性回歸方程;(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少?
分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間成線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓練公式的使用。
解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536于是b=,�！嗑�性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08。
(2)當x=10時，=1.23×10+0.08=12.38(萬元)即估計使用10年時維修費用是12.38萬元。
說明：本題若沒有告訴我們y與x間是線性相關(guān)的，應首先進行相關(guān)性檢驗。如果本身兩個變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的。
例3.某省七年的國民生產(chǎn)總值及社會商品零售總額如下表所示：已知國民生產(chǎn)總值與社會商品的零售總額之間存在線性關(guān)系，請建立回歸模型。年份國民生產(chǎn)總值(億元)
社會商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計4333.012194.24
解：設國民生產(chǎn)總值為x，社會商品零售總額為y,設線性回歸模型為。
依上表計算有關(guān)數(shù)據(jù)后代入的表達式得：∴所求線性回歸模型為y=0.445957x+37.4148,表明國民生產(chǎn)總值每增加1億元，社會商品零售總額將平均增加4459.57萬元。
例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜每年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗是否線性相關(guān);
(2)若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。
分析：(1)使用樣本相關(guān)系數(shù)計算公式來完成;(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2相應的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05比較，若r>r0.05，則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。
解：(1)列出下表，并用科學計算器進行有關(guān)計算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關(guān)系數(shù)：r=由于n=15，故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.514，則r>r0.05，從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。
(2)設所求的回歸直線方程為=bx+a，則∴回歸直線方程為=0.0931x+0.7102。
當x=150時，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。
說明：求解兩個變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計算量較大，需要細心謹慎計算，如果會使用含統(tǒng)計的科學計算器，能簡單得到，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計算機中有關(guān)應用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進行處理。
【二】
問題提出
1.函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量,如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系.
2.在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學成績好,那么你的物理學習就不會有什么大問題.”按照這種說法,似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著某種關(guān)系,我們把數(shù)學成績和物理成績看成是兩個變量,那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?
3.我們不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少,學習興趣、學習時間、教學水平等,也是影響物理成績的一些因素,但這兩個變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類似于這樣的兩個變量之間的關(guān)系,有必要從理論上作些探討,如果能通過數(shù)學成績對物理成績進行合理估計,將有著非常重要的現(xiàn)實意義.
知識探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系
思考1:考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系:
(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費;
(2)糧食產(chǎn)量與施肥量;
(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.
這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?
思考2：“出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成語嗎?
思考3:上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,稱之為相關(guān)關(guān)系,那么相關(guān)關(guān)系的含義如何?
自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.
1、球的體積和球的半徑具有()
A函數(shù)關(guān)系B相關(guān)關(guān)系
C不確定關(guān)系D無任何關(guān)系
2、下列兩個變量之間的關(guān)系不是
函數(shù)關(guān)系的是()
A角的度數(shù)和正弦值
B速度一定時，距離和時間的關(guān)系
C正方體的棱長和體積
D日照時間和水稻的畝產(chǎn)量AD練:知識探究(二)：散點圖
【問題】在對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):
其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).
思考1:對某一個人來說,他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少,但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù),大體上看,隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化?
思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系,我們需要對數(shù)據(jù)進行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡,y軸表示脂肪含量,你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎?
思考3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎?
在平面直角坐標系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖.
思考4:觀察散點圖的大致趨勢,人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系?
思考5：在上面的散點圖中,這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān).一般地,如果兩個變量成正相關(guān)，那么這兩個變量的變化趨勢如何?
思考6：如果兩個變量成負相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何?其散點圖有什么特點?
一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域.
一般情況下兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負相關(guān)，類似于函數(shù)的單調(diào)性.
知識探究(一)：回歸直線
思考1:一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心,那么散點圖中樣本點的中心如何確定?它一定是散點圖中的點嗎?
思考2:在各種各樣的散點圖中,有些散點圖中的點是雜亂分布的,有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點?
這些點大致分布在一條直線附近.
思考3:如果散點圖中的點的分布,從整體上看大致在一條直線附近,則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量,其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎?
思考4:對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù),你認為其回歸直線是一條還是幾條?
思考5:在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準確畫出回歸直線?借助計算機怎樣畫出回歸直線?
知識探究(二)：回歸方程
在直角坐標系中，任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進行估計.
思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關(guān)系?
整體上接近
思考2:對于求回歸直線方程，你有哪些想法?
思考4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適?20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫
之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天
賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對照表：
如果某天的氣溫是-50C，你能根據(jù)這些
數(shù)據(jù)預測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?
實例探究
為了了解熱茶銷量與
氣溫的大致關(guān)系,我們
以橫坐標x表示氣溫，
縱坐標y表示熱茶銷量，
建立直角坐標系.將表
中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個數(shù)對
表示的點在坐標系內(nèi)
標出，得到下圖。
你發(fā)現(xiàn)這些點有什么規(guī)律?
今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).
建構(gòu)數(shù)學
所以,我們用類似于估計平均數(shù)時的
思想,考慮離差的平方和
當x=-5時，熱茶銷量約為66杯
線性回歸方程：
一般地,設有n個觀察數(shù)據(jù)如下：當a,b使2.三點(3,10),(7,20),(11,24)的
線性回歸方程是()D11.69
二、求線性回歸方程
例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表：
求兩變量間的回歸方程解1：列表：
閱讀課本P73例1
EXCEL作散點圖
利用線性回歸方程解題步驟：
1、先畫出所給數(shù)據(jù)對應的散點圖;
2、觀察散點，如果在一條直線附近，則說明所給量具有線性相關(guān)關(guān)系
3、根據(jù)公式求出線性回歸方程，并解決其他問題。
(1)如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值;(2)分別說明以上兩個模型是確定性
模型還是隨機模型.
模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+e.
解(1)模型1：y=6+4x=6+4×3=18;
模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.C線性相關(guān)與線性回歸方程小結(jié)1、變量間相關(guān)關(guān)系的散點圖
2、如何利用“小二乘法”思想求直線的回歸方程
3、學會用回歸思想考察現(xiàn)實生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系
