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第八課時 等比數列(二)
教學目標：
靈活應用等比數列的定義及通項公式，深刻理解等比中項概念，掌握等比數列的性質；提高學生的數學素質，增強學生的應用意識.
教學重點：
1.等比中項的理解與應用.
2.等比數列定義及通項公式的應用.
教學難點：
靈活應用等比數列定義、通項 公式、性質解決一些相關問題.
教學過程：
Ⅰ.復習回顧
等比數列定義，等比數列通項公式
Ⅱ.講授新課
根據定義、通項公式，再與等差數列對照，看等比數列具有哪些性質?
(1)若a，A，b成等差數列 a＝a＋b2 ，A為等差中項.
那么，如果在a與b中間插入一個數G，使a,G，b成等比數列，……
則即Ga ＝bG ，即G2＝ab
反之，若G2＝ab，則Ga ＝bG ，即a，G，b成等比數列
∴a，G，b成等比數列 G2＝ab (a•b≠0)
總之，如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么稱這個數G為a與b的等比中項.即G＝±ab ，(a，b同號)
另外，在等差數列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，那么，在等比數列中呢？
由通項公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1•qq－1
不難發(fā)現：am•an＝a12qm+n－2，ap•aq＝a12qp+q－2
若m＋n＝p＋q，則am•an＝a p•aq
下面看應用這些性質可以解決哪些問題?
［例1］在等比數列{an}中，若a3•a5＝100，求a4.
分析：由等比數列性質，若m＋n＝p＋q，則am•an＝ap•aq可得：
解：∵在等比數列中，∴a3•a5＝a42
又∵a3•a5＝100，∴a4＝±10.
［例2］已知{an}、{bn}是項數相同的等比數列，求證{an•bn}是等比數列.
分析：由等比數列定義及通項公式求得.
解：設數列{an}的首項是a1，公比為p；{bn}的首項為b1，公比為q.
則數列{an}的第n項與第n＋1項分別為a1pn－1，a1pn
數列{bn}的第n項與第n＋1項分別為b1qn－1，b1qn.
數列{an•bn}的第n項與第n＋1項分別為a1•pn－1•b1•qn－1與a1•pn•b1•qn，即為
a1b1(pq)n－1與a1b1(pq)n
∵an+1an •bn+1bn ＝a1b1（pq）na1b1（pq）n－1 ＝pq
它是一個與n無關的常數，
∴{an•bn}是一個以pq為公比的等比數列.
特別地，如果{an}是等比數列， c是不等于0的常數，那么數列{c•an}是等比數列.
［例3］三個數成等比數列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個數.
解：設m，G，n為此三數
由已知得：m＋n＋G＝14，m•n•G＝64，
又∵G2＝m •n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10
∴m＝2n＝8 或m＝8n＝2
即這三個數為2，4，8或8，4，2.
評述：結合已知條件與定義、通項公式、性質，選擇解題捷徑.
Ⅲ.課堂練習
課本P50練習1，2，3，4，5.
Ⅳ.課時小結
本節(jié)主要內容為：
(1)若a，G，b成等比數列，則G2 ＝ab，G叫做a與b的等比中項.
(2)若在等比數列中，m＋n＝p＋q，則am•an＝ap•aq
Ⅴ.課后作業(yè)
課本P52習題 5，6，7，9

等比數列(二)
1．已知數列{an}為等比數列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
2．在等比數列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3．非零實數x、y、z成等差數列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數列，則y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
4．有四個數，前三個數成等比數列，其和為19，后三個數成等差數列，其和為12，求此四數.
5．在數列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.
6．設x＞y ＞2，且x＋y，x－y，xy，yx 能按某種順序構成等比數列，試求這個等比數列.
7．有四個數，前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，首末兩項的和為21，中間兩項的和為18，求這四個數.

等比數列(二)答案
1 ．已知數列{an}為等比數列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
分析：要確定一個等比數列，必須有兩個獨立條件，而這里只有一個條件，故用先確定基本量a1和q，再求a3＋a5 的方法是不行的，而應尋求a3＋a5整體與已知條件之間的關系.
解法一：設此等比數列的公比為q，由條件得a1q•a1q3＋2a1q2•a1q4＋a1q3•a1q5＝25
即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0
∴a1q2(q2＋1）＝5
a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5
解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25
由等比數列性質得a32＋2a3a5＋a52＝25
即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5
評述：在運用方程思想方法的過程中，還要注意整體觀念，善于利用等比數列的性質，以達到簡化解題過程、快速求解的目的.
2．在等比數列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1
又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11. 答案：C
3．非零實數x、y、z成等差數列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數列，則y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
解：由已知得2y＝x＋zy2＝（x＋1）zy2＝x（z＋2） 2y＝x＋zy2＝（x＋1）zz＝2x 2y＝3xy2＝（x＋1）2x y＝12
答案：B
4．有四個數，前三個數成等比數列，其和為19，后三個數成等差數列，其和為12，求此四數.
解：設所求的四個數分別為a，x－d，x，x＋d
則（x－d）2＝ax ①a＋（x－d）＋x＝19 ②（x－d）＋x＋（x＋d）＝12 ③
解得x＝4，代入①、②得（4－d）2＝4a a－d＝11
解得a＝25d＝14 或a＝9d＝－2
故所求四個數為25，－10，4，18或9，6，4，2.
5．在數列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列，a1＝1， b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.
分析：關鍵是求出兩個數列的通項公式.根據條件，應注意兩個數列之間的聯(lián)系及相互轉換.
解：由題意知：2bn＝an＋an＋1 ①an＋12＝bnbn＋1 ②
∴an+1＝bnbn＋1 ，an＝bnbn－1 (n≥2)
代入①得2bn＝bnbn＋1 ＋bnbn－1
即2bn ＝bn＋1 ＋bn－1 (n≥2)
∴{bn }成等差數列，設公差為d
又b1＝2，b2＝a22b1 ＝92 ，
∴d＝b2 －b1 ＝322－2 ＝22
∴bn ＝2 ＋22（n－1）＝22（n＋1），bn＝12 （n＋1）2，
當n≥2時，an＝bnbn－1 ＝n（n＋1）2 ③
且a1＝1時適合于③式，故 anbn ＝nn＋1 .
評述：對于通項公式有關系的兩個數列的問題，一般采用消元法，先消去一個數列的項，并對只含另一個數列通項的關系進行恒等變形，構造一個新的數列.
6．設x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx 能按某種順序構成等比數列，試求這個等比數列.
分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下來只需討論 yx 和x－y的大小關系，分成兩種情況討論.
解：∵x＞ y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而 yx ＜1＜x－y
當 yx ＜x－y時，由 yx ，x－y，x＋y，xy順次構成等比數列.
則有 yx •xy＝（x－y）（x＋y）（x＋y）2＝（x－y）xy
解方程組得x＝7＋52 ，y＝5＋72 2
∴所求等比數列為22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋992 2 .
當 yx ＞x－y時，由x－y， yx ，x＋y，xy順次構成等比數列
則有yx •xy＝（x＋y）2yx （x＋y）＝（x－y）xy
解方程組得y＝112 ，這與y＞2矛盾，故這種情況不存在.
7．有四個數，前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，首末兩項的和為21，中間兩項的和為18，求這四個數.
分析一：從后三個數入手.
解法一：設所求的四個數為 （x－d）2x ，x－d，x，x＋d，根據題意有
（x－d）2x ＋（x＋d）＝21（x－d）＋x＝18 ，解得x＝12d＝6 或x＝274 d＝92 274
∴所求四個數為3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .
分析二：從前三數入手.
解法二：設前三個數為 xq ，x，xq，則第四個數為2xq－x.
依題設有xq ＋2xq－x＝21x＋xq＝18 ，解得x＝6q＝2 或x＝454 q＝35
故所求的四個數為3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .
分析三：從首末兩項的和與中間兩項的和入手.
解法三：設欲求的四數為x，y，18－y，2－x，由已知得：
y2＝x（18－y）2（18－y）＝y(tǒng)＋（21－x） ，解得x＝3y＝6 或x＝754 y＝454
∴所求四數為3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .