一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
1．二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的對稱軸為（ �。�
A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點坐標是（ �。�
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
4．把拋物線y=﹣x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（ �。�
A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
5．下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等．其中真命題的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
6．如圖：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，BD=1，AC= ，則AD等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3
7．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長為（ �。�
A． 2 B． 4 C． 8 D．
8．函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標系內(nèi)的圖象大致是（ �。�
A． B． C． D．
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．二次函數(shù)y=ax2+4x+a的值是3，則a的值是 �。�
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，則cosA= �。�
11．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10 cm，最短弦長為8 cm，那么OM的長為 cm．
12．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐標系中的圖象，根據(jù)圖形判斷①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正確的是（填寫序號） ．
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
14．在△ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的長．
15．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．
16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于（2，0）、（4，0），頂點到x軸的距離為3，求函數(shù)的解析式．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足為E．
（1）求OE的長；
（2）求劣弧AC的長．
18．如圖，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的長；
（2）求tanA的值．
四、解答題（本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題4分，第22題6分）
19．已知二次函數(shù)y=x2+4x+3．
（1）用配方法將y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）寫出當x為何值時，y＞0．
20．已知：拋物線y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點，且開口向上．
（1）確定m的值；
（2）求此拋物線的頂點坐標；
（3）當x取什么值時，y隨x的增大而增大？
（4）當x取什么值時，y＜0？
21．如圖，海上有一個小島P，它的周圍12海里有暗礁，漁船由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東行駛，有沒有觸礁的危險，通過計算說明．
22．某商場將進價為2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．
（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的數(shù)量是y臺，請寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是z元，請寫出z與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（3）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B的橫坐標是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點P、M關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式．
24．如圖，拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB的寬為20m．漲水時水面上升了3m，達到了警戒水位，這時水面寬CD=10m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當水位繼續(xù)以每小時0.2m的速度上升時，再經(jīng)過幾小時就到達拱頂？
25．下圖是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的圖象，其頂點坐標為M（1，﹣4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使S△PAB= S△MAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．
2014-2015學年北京六十三中九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
1．二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的對稱軸為（ �。�
A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式直接解答即可．
解答： 解：y=x2﹣2x+3中，
a=1，b=﹣2，c=3，
x=﹣ =﹣ =1．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的對稱軸公式是解題的關鍵．
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（ �。�
A． B． C． D．
考點： 同角三角函數(shù)的關系．
分析： 根據(jù)公式cos2A+sin2A=1解答．
解答： 解：∵cos2A+sin2A=1，cosA= ，
∴sin2A=1﹣ = ，
∴sinA= ．
故選B．
點評： 本題考查公式cos2A+sin2A=1的利用．
3．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點坐標是（ �。�
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的頂點式一般形式的特點，可直接寫出頂點坐標．
解答： 解：二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3為頂點式，其頂點坐標為（1，3）．
故選B．
點評： 主要考查了求拋物線的頂點坐標的方法．
4．把拋物線y=﹣x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（ �。�
A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)．
解答： 解：當y=﹣x2向左平移1個單位時，頂點由原來的（0，0）變?yōu)椋ī?，0），
當向上平移3個單位時，頂點變?yōu)椋ī?，3），
則平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+3．
故選：D．
點評： 本題主要考查二次函數(shù)y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的關系問題．
5．下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等．其中真命題的是（ �。�
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
考點： 命題與定理．
分析： 判斷命題是否為假命題，就要判斷由題設能否推出結論，能推出，則該命題為真命題；不能推出，則該命題為假命題．
解答： 解：①由于圓沿著每條直徑所在直線對折后能夠完全重合，所以圓是軸對稱圖形；由于圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)180°后能與本身重合，所以圓是中心對稱圖形；所以此命題為真命題，故本選項正確；
②垂直于弦的直徑平分弦，符合垂徑定理，是真命題，故本選項正確；
③相等的圓心角所對的弧相等，說法不確切，應為“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等”，故本選項錯誤；
故選A．
點評： 考查了命題與定理，不僅要熟悉命題的概念，還要熟悉圓的定義及相關知識，難度不大．
6．如圖：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，BD=1，AC= ，則AD等于（ �。�
A． 1 B． C． 2 D． 3
考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： 根據(jù)∠BAC=90°，AD⊥BC，得到∠BAC=∠ADC=90°，由于∠C=∠C，證得△ABC∽△ADC，得到比例式 ，求得CD，根據(jù)勾股定理即可得到結論．
解答： 解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△ADC，
∴ ，
∴AC2=BC•CD，
即（2 ）2=（1+CD）•CD，
解得：CD=4（負值舍去），
∴AD= = =2．
故選C．
點評： 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．
7．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長為（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D．
考點： 垂徑定理；勾股定理．
分析： 連接OC，根據(jù)PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根據(jù)垂徑定理可得CD=2CP=8．
解答： 解：連接OC，
∵PA=2，PB=8，
∴AB=10，
∴CO=5，OP=5﹣2=3，
在Rt△POC中：CP= =4，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴CD=2CP=8，
故選：C．
點評： 此題主要考查了勾股定理和垂徑定理，關鍵是掌握平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�
8．函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標系內(nèi)的圖象大致是（ �。�
A． B． C． D．
考點： 二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
分析： 根據(jù)a、b的符號，針對二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，開口方向，分類討論，逐一排除．
解答： 解：當a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正確；
由B、C中二次函數(shù)的圖象可知，對稱軸x=﹣ ＞0，且a＞0，則b＜0，
但B中，一次函數(shù)a＞0，b＞0，排除B．
故選：C．
點評： 應該識記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．二次函數(shù)y=ax2+4x+a的值是3，則a的值是 ﹣1�。�
考點： 二次函數(shù)的最值．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的值公式列出方程計算即可得解．
解答： 解：由題意得， =3，
整理得，a2﹣3a﹣4=0，
解得a1=4，a2=﹣1，
∵二次函數(shù)有值，
∴a＜0，
∴a=﹣1．
故答案為：﹣1．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的最值，易錯點在于要考慮a的正負情況．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，則cosA= ．
考點： 銳角三角函數(shù)的定義．
分析： 首先求得c的長度，然后由余弦函數(shù)的定義求解即可．
解答： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：c= = = ．
cosA= = ．
故答案為： ．
點評： 本題主要考查的是勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，掌握余弦函數(shù)的定義是解題的關鍵．
11．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10 cm，最短弦長為8 cm，那么OM的長為 3 cm．
考點： 垂徑定理；勾股定理．
分析： 根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出．
解答： 解：由已知可知，最長的弦是過M的直徑AB
最短的是垂直平分直徑的弦CD
已知AB=10cm，CD=8cm
則OD=5cm，MD=4cm
由勾股定理得OM=3cm．
點評： 此題主要考查學生對垂徑定理及勾股定理的運用．
12．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐標系中的圖象，根據(jù)圖形判斷①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正確的是（填寫序號） ②④�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 首先根據(jù)圖象中拋物線的開口方向、對稱軸的位置、與y軸交點的位置來判斷出a、b、c的位置，進而判斷各結論是否正確．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：
拋物線開口向上，則a＞0；（⊙）
拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則x=﹣ ＞0，即b＜0；（△）
拋物線交y軸于負半軸，則c＜0；（□）
①由（□）知：c＜0，故①錯誤；
②由圖知：當x=1時，y＜0；即a+b+c＜0，故②正確；
③由（⊙）（△）可知：2a＞0，﹣b＞0；所以2a﹣b＞0，故③錯誤；
④由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，則△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
由（⊙）知：a＞0，則8a＞0；所以b2+8a＞4ac，故④正確；
所以正確的結論為②④．
點評： 由圖象找出有關a，b，c的相關信息以及拋物線的交點坐標，會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根據(jù)圖象判斷其值．
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
考點： 實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
專題： 計算題．
分析： 原式第一、二項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，第三項利用零指數(shù)冪法則計算，最后一項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結果．
解答： 解：原式= × ﹣ × ﹣1+
=﹣1．
點評： 此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
14．在△ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的長．
考點： 解直角三角形．
分析： 作CD⊥AB于D，先解Rt△BCD，求出CD、BD；然后在Rt△ACD中利用∠A的正切求出AD的長；那么根據(jù)AB=AD+BD即可求解．
解答： 解：作CD⊥AB于D．
設CD=x，根據(jù)題意得BD=3x．
在Rt△BCD中，由勾股定理得x2+（3x）2=（ ）2，
解得x=1．
所以CD=1，BD=3．
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，tanA= ，
∴AD= = ．
∴AB=AD+BD= +3．
點評： 本題考查了解直角三角形，作輔助線把三角形分解成兩個直角三角形，再利用三角函數(shù)求解．
15．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．
考點： 解直角三角形．
分析： 首先根據(jù)所給比例求得AD與DC的比值，從而可求得答案．
解答： 解：∵AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，
∴AD：BD：DC=8：12：15．
∴AD：DC=8：15．
∵AD⊥BC，
∴tanC= ．
點評： 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)已知條件求得AD：BD：DC=8：12：15是解題的關鍵．
16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于（2，0）、（4，0），頂點到x軸的距離為3，求函數(shù)的解析式．
考點： 拋物線與x軸的交點．
分析： 根據(jù)已知條件易求頂點為（3，3）或（3，﹣3）．所以設該二次函數(shù)的解析式為頂點式y(tǒng)=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
解答： 解：由題意知，頂點為（3，3）或（3，﹣3）．設拋物線的表達式為y=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
①當頂點為（3，3）時，
∵拋物線過（2，0），
∴a（2﹣3）2+3=0，
∴a=﹣3．
∴拋物線解析式為y=﹣3（x﹣3）2+3，即y=﹣3x2+18x﹣24；
②當頂點為（3，﹣3）時，∵拋物線過（2，0），
∴a（2﹣3）2﹣3=0，
∴a=3．
∴拋物線解析式為y=3（x﹣3）2﹣3，即y=3x2﹣18x+24．
點評： 本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時，要分類討論，以防漏解．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足為E．
（1）求OE的長；
（2）求劣弧AC的長．
考點： 垂徑定理；三角形中位線定理；圓周角定理；弧長的計算．
分析： （1）由垂徑定理知，由E是AC的中點，點O是AB的中點，則OB是△ABC的BC邊對的中位線，所以OE= BC；
（2）由圓周角定理得∠A= ∠BOC=30°，根據(jù)平角的意義求得∠AOC的度數(shù)，再利用弧長公式求得弧AC的長．
解答： 解：（1）∵OE⊥AC，垂足為E，AE=EC，
∵AO=B0，
∴OE= BC=4；
（2）∵∠A與∠BOC是同弧所對的圓周角與圓心角，
∴∠A= ∠BOC=30°，
在Rt△AOE中，sinA= ，即OA= = =8，
∵∠AOC=180°﹣60°=120°，
∴弧AC的長= = π．
點評： 本題利用了垂徑定理，三角形中位線的性質(zhì)，圓周角定理，正弦的概念，弧長公式求解．
18．如圖，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的長；
（2）求tanA的值．
考點： 解直角三角形．
分析： （1）根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半進行計算；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，只需求得AD的長，再根據(jù)勾股定理求得BD的長即可．
解答： 解：（1）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∴ ；
（2）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∵ ，
∴ ．
∵∠CBD=30°，∠A=15°，
∴∠A=∠ACB，
．∴AB=BC=10．
∴在Rt△CAD中， ．
點評： 此題綜合運用了30°的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的概念．
四、解答題（本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題4分，第22題6分）
19．已知二次函數(shù)y=x2+4x+3．
（1）用配方法將y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）寫出當x為何值時，y＞0．
考點： 二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的圖象．
專題： 應用題．
分析： （1）根據(jù)配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式．
（2）畫圖象的步驟：列表、描點、連線；
（3）當y＞0時，即圖象在x軸上方的部分，再寫出x的取值范圍．
解答： 解：（1）y=x2+4x+3，
y=x2+4x+4﹣4+3，
y=x2+4x+4﹣1，
y=（x+2）2﹣1；
（2）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
圖象見圖．
（3）由圖象可知，當x＜﹣3或x＞﹣1時，y＞0．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的解析式的形式及拋物線的畫法，注意：二次函數(shù)的解析式的三種形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；
（2）頂點式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交點式（與x軸）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
20．已知：拋物線y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點，且開口向上．
（1）確定m的值；
（2）求此拋物線的頂點坐標；
（3）當x取什么值時，y隨x的增大而增大？
（4）當x取什么值時，y＜0？
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）圖象經(jīng)過原點，即x=0時，y=0，列方程求解，同時要注意開口向上，即m﹣1＞0；
（2）把得出拋物線的一般式用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，可求頂點坐標；
（3）畫拋物線時，要明確表示拋物線與x軸，y軸的交點，頂點坐標及開口方向等；
（4）觀察圖象，可直接得出y＜0時，x的取值范圍．
解答： 解：（1）由題意得 ，
解得m=2；
（2）∵拋物線解析式為y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴頂點坐標是（﹣1，﹣1）；
（3）拋物線如圖如圖所示；由圖可知，x＞﹣1時，y隨x的增大而增大；
（4）由圖可知，當﹣2＜x＜0時，y＜0．
點評： 考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的頂點式適合與確定拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸，（小）值，增減性等；拋物線的交點式適合于確定函數(shù)值y＞0，y=0，y＜0．
21．如圖，海上有一個小島P，它的周圍12海里有暗礁，漁船由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東行駛，有沒有觸礁的危險，通過計算說明．
考點： 解直角三角形的應用-方向角問題．
分析： 過點P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根據(jù)三角函數(shù)AD，BD就可以PD表示出來，根據(jù)AB=12海里，就得到一個關于PD的方程，求得PD．從而可以判斷如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險．
解答： 解：沒有觸礁危險．
理由：過點P作PD⊥AC，交AB延長線于D．
設PD為x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°﹣45°=45°．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°﹣60°=30°
∴AD= = x，
∵AD=AB+BD，
∴ x=12+x
∴x= =6（ +1），
∵6（ +1）＞12，
∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險．
點評： 本題主要考查解直角三角形在實際問題中的應用，構造直角三角形是解題的前提和關鍵．
22．某商場將進價為2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．
（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的數(shù)量是y臺，請寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是z元，請寫出z與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（3）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？
考點： 二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用．
專題： 銷售問題．
分析： （1）用x占50的分數(shù)乘以4，再加上8臺，整理即可得解；
（2）用每一臺冰箱的利潤乘以一天銷售臺數(shù)，整理即可得解；
（3）根據(jù)利潤的函數(shù)解析式，令z=4800，解關于x的一元二次方程，再根據(jù)使百姓得到實惠解答．
解答： 解：（1）根據(jù)題意得：y=8+4× = x+8；
（2）根據(jù)題意得：z=（400﹣x）•（ x+8）=﹣ x2+24x+3200；
（3）根據(jù)題意得：﹣ x2+24x+3200=4800，
整理，x2﹣300x+20000=0，
（x﹣100）（x﹣200）=0，
解得，x1=200，x2=100，
∵要使這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，
∴x=200．
答：要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠每臺應降200元．
點評： 本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，一元二次方程的應用，（1）根據(jù)x所占50的分數(shù)列出銷售臺數(shù)是解題的關鍵，（3）要注意使百姓得到實惠的條件限制．
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B的橫坐標是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點P、M關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 綜合題．
分析： （1）將B點坐標代入拋物線C1的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．
（2）在拋物線平移過程中，拋物線的開口大小沒有發(fā)現(xiàn)變化，變化的只是拋物線的位置和開口方向，所以C3的二次項系數(shù)與C1的互為相反數(shù)，而C3的頂點M與C1的頂點P關于原點對稱，P點坐標易求得，即可得到M點坐標，從而求出拋物線C3的解析式．
解答： 解：（1）∵點B是拋物線與x軸的交點，橫坐標是1，
∴點B的坐標為（1，0），
∴當x=1時，0=a（1+2）2﹣5，
∴ ．
（2）設拋物線C3解析式為y=a′（x﹣h）2+k，
∵拋物線C2與C1關于x軸對稱，且C3為C2向右平移得到，
∴ ，
∵點P、M關于點O對稱，且點P的坐標為（﹣2，﹣5），
∴點M的坐標為（2，5），
∴拋物線C3的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+5=﹣ x2+ x+ ．
點評： 此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的幾何變化以及系數(shù)與函數(shù)圖象的關系，需要熟練掌握．
24．如圖，拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB的寬為20m．漲水時水面上升了3m，達到了警戒水位，這時水面寬CD=10m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當水位繼續(xù)以每小時0.2m的速度上升時，再經(jīng)過幾小時就到達拱頂？
考點： 二次函數(shù)的應用．
分析： （1）先設拋物線的解析式為y=ax2，再找出幾個點的坐標，代入解析式后可求解；
（2）由（1）可知拋物線的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的長度，進而求出時間．
解答： 解：（1）設所求拋物線的解析式為：y=ax2．
設D（5，b），則B（10，b﹣3），
把D、B的坐標分別代入y=ax2得： ，
解得 ，
∴y=﹣ x2；
（2）∵b=﹣1，
∴拱橋頂O到CD的距離為1， =5小時．
所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂．
點評： 本題主要考查了點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題
25．下圖是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的圖象，其頂點坐標為M（1，﹣4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使S△PAB= S△MAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： （1）由頂點坐標確定m、k的值，再令y=0求得圖象與x軸的交點坐標；
（2）設存在這樣的P點，由于底邊相同，求出△PAB的高|y|，將y求出代入二次函數(shù)表達式求得P點坐標；
（3）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動的范圍，求出b的取值范圍．
解答： 解：（1）因為M（1，﹣4）是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的頂點坐標，
所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，
令x2﹣2x﹣3=0，
解之得x1=﹣1，x2=3．
∴A，B兩點的坐標分別為A（﹣1，0），B（3，0）；（4分）
（2）在二次函數(shù)的圖象上存在點P，使 ，
設P（x，y），
則 ，
又∵ ，
∴ ．
∵二次函數(shù)的最小值為﹣4，
∴y=5．
當y=5時，x=﹣2或x=4．
故P點坐標為（﹣2，5）或（4，5）；
（3）如圖，當直線y=x+b經(jīng)過A（﹣1，0）時﹣1+b=0，可得b=1，又因為b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當直線y=x+b經(jīng)過點B（3，0）時，3+b=0，則b=﹣3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為﹣3＜b＜1時，直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點．
點評： 本題考查了由函數(shù)圖象確定坐標，以及給出面積關系求點的坐標和直線與圖象的交點問題，綜合體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．
1．二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的對稱軸為（ �。�
A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點坐標是（ �。�
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
4．把拋物線y=﹣x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（ �。�
A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
5．下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等．其中真命題的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
6．如圖：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，BD=1，AC= ，則AD等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3
7．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長為（ �。�
A． 2 B． 4 C． 8 D．
8．函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標系內(nèi)的圖象大致是（ �。�
A． B． C． D．
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．二次函數(shù)y=ax2+4x+a的值是3，則a的值是 �。�
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，則cosA= �。�
11．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10 cm，最短弦長為8 cm，那么OM的長為 cm．
12．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐標系中的圖象，根據(jù)圖形判斷①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正確的是（填寫序號） ．
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
14．在△ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的長．
15．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．
16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于（2，0）、（4，0），頂點到x軸的距離為3，求函數(shù)的解析式．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足為E．
（1）求OE的長；
（2）求劣弧AC的長．
18．如圖，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的長；
（2）求tanA的值．
四、解答題（本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題4分，第22題6分）
19．已知二次函數(shù)y=x2+4x+3．
（1）用配方法將y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）寫出當x為何值時，y＞0．
20．已知：拋物線y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點，且開口向上．
（1）確定m的值；
（2）求此拋物線的頂點坐標；
（3）當x取什么值時，y隨x的增大而增大？
（4）當x取什么值時，y＜0？
21．如圖，海上有一個小島P，它的周圍12海里有暗礁，漁船由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東行駛，有沒有觸礁的危險，通過計算說明．
22．某商場將進價為2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．
（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的數(shù)量是y臺，請寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是z元，請寫出z與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（3）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B的橫坐標是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點P、M關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式．
24．如圖，拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB的寬為20m．漲水時水面上升了3m，達到了警戒水位，這時水面寬CD=10m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當水位繼續(xù)以每小時0.2m的速度上升時，再經(jīng)過幾小時就到達拱頂？
25．下圖是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的圖象，其頂點坐標為M（1，﹣4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使S△PAB= S△MAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．
2014-2015學年北京六十三中九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
1．二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的對稱軸為（ �。�
A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式直接解答即可．
解答： 解：y=x2﹣2x+3中，
a=1，b=﹣2，c=3，
x=﹣ =﹣ =1．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的對稱軸公式是解題的關鍵．
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（ �。�
A． B． C． D．
考點： 同角三角函數(shù)的關系．
分析： 根據(jù)公式cos2A+sin2A=1解答．
解答： 解：∵cos2A+sin2A=1，cosA= ，
∴sin2A=1﹣ = ，
∴sinA= ．
故選B．
點評： 本題考查公式cos2A+sin2A=1的利用．
3．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點坐標是（ �。�
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的頂點式一般形式的特點，可直接寫出頂點坐標．
解答： 解：二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3為頂點式，其頂點坐標為（1，3）．
故選B．
點評： 主要考查了求拋物線的頂點坐標的方法．
4．把拋物線y=﹣x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（ �。�
A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)．
解答： 解：當y=﹣x2向左平移1個單位時，頂點由原來的（0，0）變?yōu)椋ī?，0），
當向上平移3個單位時，頂點變?yōu)椋ī?，3），
則平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+3．
故選：D．
點評： 本題主要考查二次函數(shù)y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的關系問題．
5．下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等．其中真命題的是（ �。�
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
考點： 命題與定理．
分析： 判斷命題是否為假命題，就要判斷由題設能否推出結論，能推出，則該命題為真命題；不能推出，則該命題為假命題．
解答： 解：①由于圓沿著每條直徑所在直線對折后能夠完全重合，所以圓是軸對稱圖形；由于圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)180°后能與本身重合，所以圓是中心對稱圖形；所以此命題為真命題，故本選項正確；
②垂直于弦的直徑平分弦，符合垂徑定理，是真命題，故本選項正確；
③相等的圓心角所對的弧相等，說法不確切，應為“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等”，故本選項錯誤；
故選A．
點評： 考查了命題與定理，不僅要熟悉命題的概念，還要熟悉圓的定義及相關知識，難度不大．
6．如圖：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，BD=1，AC= ，則AD等于（ �。�
A． 1 B． C． 2 D． 3
考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： 根據(jù)∠BAC=90°，AD⊥BC，得到∠BAC=∠ADC=90°，由于∠C=∠C，證得△ABC∽△ADC，得到比例式 ，求得CD，根據(jù)勾股定理即可得到結論．
解答： 解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△ADC，
∴ ，
∴AC2=BC•CD，
即（2 ）2=（1+CD）•CD，
解得：CD=4（負值舍去），
∴AD= = =2．
故選C．
點評： 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．
7．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長為（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D．
考點： 垂徑定理；勾股定理．
分析： 連接OC，根據(jù)PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根據(jù)垂徑定理可得CD=2CP=8．
解答： 解：連接OC，
∵PA=2，PB=8，
∴AB=10，
∴CO=5，OP=5﹣2=3，
在Rt△POC中：CP= =4，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴CD=2CP=8，
故選：C．
點評： 此題主要考查了勾股定理和垂徑定理，關鍵是掌握平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�
8．函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標系內(nèi)的圖象大致是（ �。�
A． B． C． D．
考點： 二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
分析： 根據(jù)a、b的符號，針對二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，開口方向，分類討論，逐一排除．
解答： 解：當a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正確；
由B、C中二次函數(shù)的圖象可知，對稱軸x=﹣ ＞0，且a＞0，則b＜0，
但B中，一次函數(shù)a＞0，b＞0，排除B．
故選：C．
點評： 應該識記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．二次函數(shù)y=ax2+4x+a的值是3，則a的值是 ﹣1�。�
考點： 二次函數(shù)的最值．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的值公式列出方程計算即可得解．
解答： 解：由題意得， =3，
整理得，a2﹣3a﹣4=0，
解得a1=4，a2=﹣1，
∵二次函數(shù)有值，
∴a＜0，
∴a=﹣1．
故答案為：﹣1．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的最值，易錯點在于要考慮a的正負情況．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，則cosA= ．
考點： 銳角三角函數(shù)的定義．
分析： 首先求得c的長度，然后由余弦函數(shù)的定義求解即可．
解答： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：c= = = ．
cosA= = ．
故答案為： ．
點評： 本題主要考查的是勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，掌握余弦函數(shù)的定義是解題的關鍵．
11．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10 cm，最短弦長為8 cm，那么OM的長為 3 cm．
考點： 垂徑定理；勾股定理．
分析： 根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出．
解答： 解：由已知可知，最長的弦是過M的直徑AB
最短的是垂直平分直徑的弦CD
已知AB=10cm，CD=8cm
則OD=5cm，MD=4cm
由勾股定理得OM=3cm．
點評： 此題主要考查學生對垂徑定理及勾股定理的運用．
12．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐標系中的圖象，根據(jù)圖形判斷①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正確的是（填寫序號） ②④�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 首先根據(jù)圖象中拋物線的開口方向、對稱軸的位置、與y軸交點的位置來判斷出a、b、c的位置，進而判斷各結論是否正確．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：
拋物線開口向上，則a＞0；（⊙）
拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則x=﹣ ＞0，即b＜0；（△）
拋物線交y軸于負半軸，則c＜0；（□）
①由（□）知：c＜0，故①錯誤；
②由圖知：當x=1時，y＜0；即a+b+c＜0，故②正確；
③由（⊙）（△）可知：2a＞0，﹣b＞0；所以2a﹣b＞0，故③錯誤；
④由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，則△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
由（⊙）知：a＞0，則8a＞0；所以b2+8a＞4ac，故④正確；
所以正確的結論為②④．
點評： 由圖象找出有關a，b，c的相關信息以及拋物線的交點坐標，會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根據(jù)圖象判斷其值．
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
考點： 實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
專題： 計算題．
分析： 原式第一、二項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，第三項利用零指數(shù)冪法則計算，最后一項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結果．
解答： 解：原式= × ﹣ × ﹣1+
=﹣1．
點評： 此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
14．在△ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的長．
考點： 解直角三角形．
分析： 作CD⊥AB于D，先解Rt△BCD，求出CD、BD；然后在Rt△ACD中利用∠A的正切求出AD的長；那么根據(jù)AB=AD+BD即可求解．
解答： 解：作CD⊥AB于D．
設CD=x，根據(jù)題意得BD=3x．
在Rt△BCD中，由勾股定理得x2+（3x）2=（ ）2，
解得x=1．
所以CD=1，BD=3．
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，tanA= ，
∴AD= = ．
∴AB=AD+BD= +3．
點評： 本題考查了解直角三角形，作輔助線把三角形分解成兩個直角三角形，再利用三角函數(shù)求解．
15．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．
考點： 解直角三角形．
分析： 首先根據(jù)所給比例求得AD與DC的比值，從而可求得答案．
解答： 解：∵AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，
∴AD：BD：DC=8：12：15．
∴AD：DC=8：15．
∵AD⊥BC，
∴tanC= ．
點評： 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)已知條件求得AD：BD：DC=8：12：15是解題的關鍵．
16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于（2，0）、（4，0），頂點到x軸的距離為3，求函數(shù)的解析式．
考點： 拋物線與x軸的交點．
分析： 根據(jù)已知條件易求頂點為（3，3）或（3，﹣3）．所以設該二次函數(shù)的解析式為頂點式y(tǒng)=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
解答： 解：由題意知，頂點為（3，3）或（3，﹣3）．設拋物線的表達式為y=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
①當頂點為（3，3）時，
∵拋物線過（2，0），
∴a（2﹣3）2+3=0，
∴a=﹣3．
∴拋物線解析式為y=﹣3（x﹣3）2+3，即y=﹣3x2+18x﹣24；
②當頂點為（3，﹣3）時，∵拋物線過（2，0），
∴a（2﹣3）2﹣3=0，
∴a=3．
∴拋物線解析式為y=3（x﹣3）2﹣3，即y=3x2﹣18x+24．
點評： 本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時，要分類討論，以防漏解．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足為E．
（1）求OE的長；
（2）求劣弧AC的長．
考點： 垂徑定理；三角形中位線定理；圓周角定理；弧長的計算．
分析： （1）由垂徑定理知，由E是AC的中點，點O是AB的中點，則OB是△ABC的BC邊對的中位線，所以OE= BC；
（2）由圓周角定理得∠A= ∠BOC=30°，根據(jù)平角的意義求得∠AOC的度數(shù)，再利用弧長公式求得弧AC的長．
解答： 解：（1）∵OE⊥AC，垂足為E，AE=EC，
∵AO=B0，
∴OE= BC=4；
（2）∵∠A與∠BOC是同弧所對的圓周角與圓心角，
∴∠A= ∠BOC=30°，
在Rt△AOE中，sinA= ，即OA= = =8，
∵∠AOC=180°﹣60°=120°，
∴弧AC的長= = π．
點評： 本題利用了垂徑定理，三角形中位線的性質(zhì)，圓周角定理，正弦的概念，弧長公式求解．
18．如圖，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的長；
（2）求tanA的值．
考點： 解直角三角形．
分析： （1）根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半進行計算；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，只需求得AD的長，再根據(jù)勾股定理求得BD的長即可．
解答： 解：（1）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∴ ；
（2）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∵ ，
∴ ．
∵∠CBD=30°，∠A=15°，
∴∠A=∠ACB，
．∴AB=BC=10．
∴在Rt△CAD中， ．
點評： 此題綜合運用了30°的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的概念．
四、解答題（本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題4分，第22題6分）
19．已知二次函數(shù)y=x2+4x+3．
（1）用配方法將y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）寫出當x為何值時，y＞0．
考點： 二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的圖象．
專題： 應用題．
分析： （1）根據(jù)配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式．
（2）畫圖象的步驟：列表、描點、連線；
（3）當y＞0時，即圖象在x軸上方的部分，再寫出x的取值范圍．
解答： 解：（1）y=x2+4x+3，
y=x2+4x+4﹣4+3，
y=x2+4x+4﹣1，
y=（x+2）2﹣1；
（2）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
圖象見圖．
（3）由圖象可知，當x＜﹣3或x＞﹣1時，y＞0．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的解析式的形式及拋物線的畫法，注意：二次函數(shù)的解析式的三種形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；
（2）頂點式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交點式（與x軸）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
20．已知：拋物線y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點，且開口向上．
（1）確定m的值；
（2）求此拋物線的頂點坐標；
（3）當x取什么值時，y隨x的增大而增大？
（4）當x取什么值時，y＜0？
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）圖象經(jīng)過原點，即x=0時，y=0，列方程求解，同時要注意開口向上，即m﹣1＞0；
（2）把得出拋物線的一般式用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，可求頂點坐標；
（3）畫拋物線時，要明確表示拋物線與x軸，y軸的交點，頂點坐標及開口方向等；
（4）觀察圖象，可直接得出y＜0時，x的取值范圍．
解答： 解：（1）由題意得 ，
解得m=2；
（2）∵拋物線解析式為y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴頂點坐標是（﹣1，﹣1）；
（3）拋物線如圖如圖所示；由圖可知，x＞﹣1時，y隨x的增大而增大；
（4）由圖可知，當﹣2＜x＜0時，y＜0．
點評： 考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的頂點式適合與確定拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸，（小）值，增減性等；拋物線的交點式適合于確定函數(shù)值y＞0，y=0，y＜0．
21．如圖，海上有一個小島P，它的周圍12海里有暗礁，漁船由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東行駛，有沒有觸礁的危險，通過計算說明．
考點： 解直角三角形的應用-方向角問題．
分析： 過點P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根據(jù)三角函數(shù)AD，BD就可以PD表示出來，根據(jù)AB=12海里，就得到一個關于PD的方程，求得PD．從而可以判斷如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險．
解答： 解：沒有觸礁危險．
理由：過點P作PD⊥AC，交AB延長線于D．
設PD為x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°﹣45°=45°．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°﹣60°=30°
∴AD= = x，
∵AD=AB+BD，
∴ x=12+x
∴x= =6（ +1），
∵6（ +1）＞12，
∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險．
點評： 本題主要考查解直角三角形在實際問題中的應用，構造直角三角形是解題的前提和關鍵．
22．某商場將進價為2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．
（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的數(shù)量是y臺，請寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是z元，請寫出z與x之間的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（3）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？
考點： 二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用．
專題： 銷售問題．
分析： （1）用x占50的分數(shù)乘以4，再加上8臺，整理即可得解；
（2）用每一臺冰箱的利潤乘以一天銷售臺數(shù)，整理即可得解；
（3）根據(jù)利潤的函數(shù)解析式，令z=4800，解關于x的一元二次方程，再根據(jù)使百姓得到實惠解答．
解答： 解：（1）根據(jù)題意得：y=8+4× = x+8；
（2）根據(jù)題意得：z=（400﹣x）•（ x+8）=﹣ x2+24x+3200；
（3）根據(jù)題意得：﹣ x2+24x+3200=4800，
整理，x2﹣300x+20000=0，
（x﹣100）（x﹣200）=0，
解得，x1=200，x2=100，
∵要使這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，
∴x=200．
答：要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠每臺應降200元．
點評： 本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，一元二次方程的應用，（1）根據(jù)x所占50的分數(shù)列出銷售臺數(shù)是解題的關鍵，（3）要注意使百姓得到實惠的條件限制．
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B的橫坐標是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點P、M關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 綜合題．
分析： （1）將B點坐標代入拋物線C1的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．
（2）在拋物線平移過程中，拋物線的開口大小沒有發(fā)現(xiàn)變化，變化的只是拋物線的位置和開口方向，所以C3的二次項系數(shù)與C1的互為相反數(shù)，而C3的頂點M與C1的頂點P關于原點對稱，P點坐標易求得，即可得到M點坐標，從而求出拋物線C3的解析式．
解答： 解：（1）∵點B是拋物線與x軸的交點，橫坐標是1，
∴點B的坐標為（1，0），
∴當x=1時，0=a（1+2）2﹣5，
∴ ．
（2）設拋物線C3解析式為y=a′（x﹣h）2+k，
∵拋物線C2與C1關于x軸對稱，且C3為C2向右平移得到，
∴ ，
∵點P、M關于點O對稱，且點P的坐標為（﹣2，﹣5），
∴點M的坐標為（2，5），
∴拋物線C3的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+5=﹣ x2+ x+ ．
點評： 此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的幾何變化以及系數(shù)與函數(shù)圖象的關系，需要熟練掌握．
24．如圖，拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB的寬為20m．漲水時水面上升了3m，達到了警戒水位，這時水面寬CD=10m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當水位繼續(xù)以每小時0.2m的速度上升時，再經(jīng)過幾小時就到達拱頂？
考點： 二次函數(shù)的應用．
分析： （1）先設拋物線的解析式為y=ax2，再找出幾個點的坐標，代入解析式后可求解；
（2）由（1）可知拋物線的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的長度，進而求出時間．
解答： 解：（1）設所求拋物線的解析式為：y=ax2．
設D（5，b），則B（10，b﹣3），
把D、B的坐標分別代入y=ax2得： ，
解得 ，
∴y=﹣ x2；
（2）∵b=﹣1，
∴拱橋頂O到CD的距離為1， =5小時．
所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂．
點評： 本題主要考查了點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題
25．下圖是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的圖象，其頂點坐標為M（1，﹣4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使S△PAB= S△MAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： （1）由頂點坐標確定m、k的值，再令y=0求得圖象與x軸的交點坐標；
（2）設存在這樣的P點，由于底邊相同，求出△PAB的高|y|，將y求出代入二次函數(shù)表達式求得P點坐標；
（3）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動的范圍，求出b的取值范圍．
解答： 解：（1）因為M（1，﹣4）是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的頂點坐標，
所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，
令x2﹣2x﹣3=0，
解之得x1=﹣1，x2=3．
∴A，B兩點的坐標分別為A（﹣1，0），B（3，0）；（4分）
（2）在二次函數(shù)的圖象上存在點P，使 ，
設P（x，y），
則 ，
又∵ ，
∴ ．
∵二次函數(shù)的最小值為﹣4，
∴y=5．
當y=5時，x=﹣2或x=4．
故P點坐標為（﹣2，5）或（4，5）；
（3）如圖，當直線y=x+b經(jīng)過A（﹣1，0）時﹣1+b=0，可得b=1，又因為b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當直線y=x+b經(jīng)過點B（3，0）時，3+b=0，則b=﹣3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為﹣3＜b＜1時，直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點．
點評： 本題考查了由函數(shù)圖象確定坐標，以及給出面積關系求點的坐標和直線與圖象的交點問題，綜合體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．
