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2016數(shù)學(xué)高二寒假自主學(xué)習(xí)作業(yè)本

時(shí)間:2016-02-22 15:38:00   來(lái)源:無(wú)憂考網(wǎng)     [字體: ]
一、選擇題(每小題3分,共18分)

1.已知直線l1,l2與平面α,有下列說(shuō)法:

①若l1∥α,l1∥l2,則l2∥α;②l1 α,l2∩α=A,則l1與l2為異面直線;③若l1⊥α,l2⊥α,則l1∥l2;④若l1⊥l2,l1∥α,則l2∥α.

其中正確的個(gè)數(shù)有(  )

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)

【解析】選B.①錯(cuò),因?yàn)閘2還可能在α內(nèi).②錯(cuò),當(dāng)A∈l1時(shí),l1∩l2=A.③對(duì),是線面垂直的性質(zhì)定理.④錯(cuò),l2與α的位置關(guān)系不確定.

2.(2014•松原高一檢測(cè))BC是Rt△ABC的斜邊,AP⊥平面ABC,PD⊥BC于點(diǎn)D,連接AD,則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)

是(  )

A.8 B.7

C.6 D.5

【解析】選A.因?yàn)锳P⊥平面ABC,BC 平面ABC,

所以PA⊥BC,又PD⊥BC于D,PD∩PA=P,

所以BC⊥平面PAD,AD 平面PAD,所以BC⊥AD.

又BC是Rt△ABC的斜邊,所以∠BAC為直角.

所以圖中的直角三角形有:△ABC,△PAC,△PAB,△PAD,△PDC,△PDB,

△ADC,△ADB.

3.在空間中,下列說(shuō)法正確的有(  )

①平行于同一條直線的兩條直線互相平行;

②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;

③平行于同一平面的兩條直線互相平行;

④兩條異面直線不可能垂直于同一平面.

A. 1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【解析】選B.由公理4知①正確,由線面垂直的性質(zhì)定理知④正確.對(duì)于②,空間中垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行、異面都有可能.對(duì)③中的兩條平行于同一個(gè)平面的直線,其位置關(guān)系不確定.

4.(2013•廣東高考)設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列說(shuō)法中正確的是(  )

A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l⊥α,l⊥β,則α∥β

C.若l⊥α,l∥β,則α∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β

【解析】選B.對(duì)于選項(xiàng)A,兩個(gè)平面α,β平行于同一條直線,不能確定兩平面平行還是相交(若兩平面相交能確定與交線平行);對(duì)于選項(xiàng)B,垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(直線是公垂線);對(duì)于選項(xiàng)C,能推出兩個(gè)平面相交且兩個(gè)平面垂直;對(duì)于選項(xiàng)D,l∥β,l⊥β,l β都可能.

5.如圖,已知△ABC為直角三角形,其中∠ACB=90°,M為AB的中點(diǎn),PM垂直于△ABC所在平面,那么(  )

A.PA=PB>PC

B.PA=PB

C.PA=PB=PC

D.PA≠PB≠PC

【解析】選C.

因?yàn)椤鰽BC為直角三角形,M為斜邊AB的中點(diǎn),

所以MA=MB=MC,

因?yàn)镻M垂直于△ABC所在平面,

所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC,

所以PA=PB=PC .

【變式訓(xùn)練】已知直線PG⊥平面α于G,直線EF α,且PF⊥EF于F,那么線段PE,PF,PG的關(guān)系是(  )

A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE

C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG

【解析】選C.在Rt△PFE中,PE>PF;在Rt△PFG中,PF>PG,所以PE>PF>PG.

6.(2014•吉安高二檢測(cè))如圖,設(shè)平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α.垂足分別為B,D,如果增加一個(gè)條件,就能推出BD⊥EF,這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的(  )

A.AC⊥β

B.AC⊥EF

C.AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上

D.AC與α,β所成的角相等

【解析】選D.對(duì)于A.若AC⊥β,EF β,則AC⊥EF.

又AB⊥α,EF α,則AB⊥EF,AB⊥α,CD⊥α,

所以AB∥CD,

故ABDC確定一個(gè)平面,又AC∩AB=A,

所以EF⊥平面ABDC,

BD 平面ABDC,所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.對(duì)于選項(xiàng)C.由于AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上,所以平面ABDC與平面β垂直,又因?yàn)镋F⊥AB,所以EF⊥平面ABDC,所以EF⊥BD.對(duì)于D,若AC∥EF,則AC與α,β所成的角也相等,但不能推出BD⊥EF.二、填空題(每小題4分,共12分)

7.(2014•無(wú)錫高二檢測(cè))已知直線m 平面α,直線n 平面α,m∩n=M,直線a⊥m,a⊥n,直線b⊥m,b⊥n,則直線a,b的位置關(guān)系是________.

【解析】因?yàn)橹本a⊥m,a⊥n,直線m 平面α,直線n 平面α,m∩n=M,所以a⊥α.同理可證直線b⊥α,所以a∥b.

答案:a∥b

8.若三個(gè)平面兩兩垂直,它們交于一點(diǎn)A,空間一點(diǎn)C1到三個(gè)平面的距離分別為5,6,7,則AC1的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【解析】如圖構(gòu)造長(zhǎng)方體,可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為7,6,5,AC1為體對(duì)角線,所以AC1= = .

答案:

9.AB是☉O的直徑,點(diǎn)C是☉O上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A,B重合),過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于☉O所在的平面,D,E分別是VA,VC的中點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是________(填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)).

(1)直線DE∥平面ABC.

(2)直線DE⊥平面VBC.

(3)DE⊥VB.

(4)DE⊥AB.

【解析】因?yàn)锳B是☉O的直徑,點(diǎn)C是☉O上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A,B重合),

所以AC⊥BC,

因?yàn)閂C垂直于☉O所在的平面,

所以AC⊥VC,又BC∩VC=C,

所以AC⊥平面VBC.

因?yàn)镈,E分別是VA,VC的中點(diǎn),

所以DE∥AC,又DE⊈平面ABC,AC 平面ABC,

所以DE∥平面ABC,

DE⊥平面VBC,DE⊥VB,

DE與AB所成的角為∠BAC是銳角,故DE⊥AB不成立.

由以上分析可知(1)(2)(3)正確.

答案:(1)(2)(3)

三、解答題(每小題10分,共20分)

10.(2014•開(kāi)封高一檢測(cè))如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)求證:AB⊥A1C.

(2)若AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

【解析】(1)如圖,

取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OA1,A1B.

因?yàn)镃A=CB,所以O(shè)C⊥AB.

由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B為等邊三角形,

所以O(shè)A1⊥AB.

因?yàn)镺C∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.

又A1C 平面OA1C,故AB⊥A1C.

(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

所以O(shè)C=OA1= .

又A1C= ,則A1C2=OC2+O ,故OA1⊥OC.

因?yàn)镺C∩AB=O,所以O(shè)A1⊥平面ABC,所以O(shè)A1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面積S△ABC= ,故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1= × =3.

11.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1= ,D是A1B1的中點(diǎn).

(1)求證:C1D⊥平面A1B.

(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí),會(huì)使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.

【解析】(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,

所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.

又D是A1B1的中點(diǎn),

所以C1D⊥A1B1.

因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1,C1D 平面A1B1C1,

所以AA1⊥C1D,又AA1∩A1B1=A1,

所以C1D⊥平面A1B.

(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延長(zhǎng)DE交BB1于F,連接C1F,則AB1⊥平面C1DF,點(diǎn)F即為所求.

證明:因?yàn)镃1D⊥平面AA1B1B,AB1 平面AA1B1B,

所以C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,

所以AB1⊥平面C1DF.

【變式訓(xùn)練】如圖所示,ABCD為正方形,SA⊥平面ABCD,過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB,SC,SD于點(diǎn)E,F(xiàn),G.求證:AE⊥SB.

【證明】因?yàn)镾A⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以SA⊥BC,又因?yàn)锽C⊥AB,

SA∩AB=A,

所以BC⊥平面SAB,

又AE 平面SAB,所以BC⊥AE.

因?yàn)镾C⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.

又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,

所以AE⊥SB.