1.已知直線l1，l2與平面α，有下列說(shuō)法：

①若l1∥α，l1∥l2，則l2∥α;②l1 α，l2∩α=A，則l1與l2為異面直線;③若l1⊥α，l2⊥α，則l1∥l2;④若l1⊥l2，l1∥α，則l2∥α.

其中正確的個(gè)數(shù)有(　　)

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)

【解析】選B.①錯(cuò)，因?yàn)閘2還可能在α內(nèi).②錯(cuò)，當(dāng)A∈l1時(shí)，l1∩l2=A.③對(duì)，是線面垂直的性質(zhì)定理.④錯(cuò)，l2與α的位置關(guān)系不確定.

2.(2014•松原高一檢測(cè))BC是Rt△ABC的斜邊，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)

是(　　)

A.8 B.7

C.6 D.5

【解析】選A.因?yàn)锳P⊥平面ABC，BC 平面ABC，

所以PA⊥BC，又PD⊥BC于D，PD∩PA=P，

所以BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以BC⊥AD.

又BC是Rt△ABC的斜邊，所以∠BAC為直角.

所以圖中的直角三角形有：△ABC，△PAC，△PAB，△PAD，△PDC，△PDB，

△ADC，△ADB.

3.在空間中，下列說(shuō)法正確的有(　　)

①平行于同一條直線的兩條直線互相平行;

②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;

③平行于同一平面的兩條直線互相平行;

④兩條異面直線不可能垂直于同一平面.

A. 1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【解析】選B.由公理4知①正確，由線面垂直的性質(zhì)定理知④正確.對(duì)于②，空間中垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行、異面都有可能.對(duì)③中的兩條平行于同一個(gè)平面的直線，其位置關(guān)系不確定.

4.(2013•廣東高考)設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

A.若l∥α，l∥β，則α∥β B.若l⊥α，l⊥β，則α∥β

C.若l⊥α，l∥β，則α∥β D.若α⊥β，l∥α，則l⊥β

【解析】選B.對(duì)于選項(xiàng)A，兩個(gè)平面α，β平行于同一條直線，不能確定兩平面平行還是相交(若兩平面相交能確定與交線平行);對(duì)于選項(xiàng)B，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(直線是公垂線);對(duì)于選項(xiàng)C，能推出兩個(gè)平面相交且兩個(gè)平面垂直;對(duì)于選項(xiàng)D，l∥β，l⊥β，l β都可能.

5.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB=90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　)

A.PA=PB>PC

B.PA=PB

C.PA=PB=PC

D.PA≠PB≠PC

【解析】選C.

因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，M為斜邊AB的中點(diǎn)，

所以MA=MB=MC，

因?yàn)镻M垂直于△ABC所在平面，

所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，

所以PA=PB=PC .

【變式訓(xùn)練】已知直線PG⊥平面α于G，直線EF α，且PF⊥EF于F，那么線段PE，PF，PG的關(guān)系是(　　)

A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE

C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG

【解析】選C.在Rt△PFE中，PE>PF;在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG.

6.(2014•吉安高二檢測(cè))如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α.垂足分別為B，D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的(　　)

A.AC⊥β

B.AC⊥EF

C.AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上

D.AC與α，β所成的角相等

【解析】選D.對(duì)于A.若AC⊥β，EF β，則AC⊥EF.

又AB⊥α，EF α，則AB⊥EF，AB⊥α，CD⊥α，

所以AB∥CD，

故ABDC確定一個(gè)平面，又AC∩AB=A，

所以EF⊥平面ABDC，

BD 平面ABDC，所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.對(duì)于選項(xiàng)C.由于AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，所以平面ABDC與平面β垂直，又因?yàn)镋F⊥AB，所以EF⊥平面ABDC，所以EF⊥BD.對(duì)于D，若AC∥EF，則AC與α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF.二、填空題(每小題4分，共12分)

7.(2014•無(wú)錫高二檢測(cè))已知直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，直線a⊥m，a⊥n，直線b⊥m，b⊥n，則直線a，b的位置關(guān)系是________.

【解析】因?yàn)橹本�a⊥m，a⊥n，直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可證直線b⊥α，所以a∥b.

答案：a∥b

8.若三個(gè)平面兩兩垂直，它們交于一點(diǎn)A，空間一點(diǎn)C1到三個(gè)平面的距離分別為5，6，7，則AC1的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【解析】如圖構(gòu)造長(zhǎng)方體，可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為7，6，5，AC1為體對(duì)角線，所以AC1= = .

答案：

9.AB是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A，B重合)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于☉O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是________(填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)).

(1)直線DE∥平面ABC.

(2)直線DE⊥平面VBC.

(3)DE⊥VB.

(4)DE⊥AB.

【解析】因?yàn)锳B是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A，B重合)，

所以AC⊥BC，

因?yàn)閂C垂直于☉O所在的平面，

所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，

所以AC⊥平面VBC.

因?yàn)镈，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，

所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

DE⊥平面VBC，DE⊥VB，

DE與AB所成的角為∠BAC是銳角，故DE⊥AB不成立.

由以上分析可知(1)(2)(3)正確.

答案：(1)(2)(3)

三、解答題(每小題10分，共20分)

10.(2014•開(kāi)封高一檢測(cè))如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

(1)求證：AB⊥A1C.

(2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

【解析】(1)如圖，

取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.

因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB.

由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B為等邊三角形，

所以O(shè)A1⊥AB.

因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以O(shè)C=OA1= .

又A1C= ，則A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC.

因?yàn)镺C∩AB=O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，所以O(shè)A1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面積S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1= × =3.

11.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中點(diǎn).

(1)求證：C1D⊥平面A1B.

(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.

【解析】(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，

所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.

又D是A1B1的中點(diǎn)，

所以C1D⊥A1B1.

因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，

所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，

所以C1D⊥平面A1B.

(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延長(zhǎng)DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即為所求.

證明：因?yàn)镃1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，

所以C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，

所以AB1⊥平面C1DF.

【變式訓(xùn)練】如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.

【證明】因?yàn)镾A⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因?yàn)锽C⊥AB，

SA∩AB=A，

所以BC⊥平面SAB，

又AE 平面SAB，所以BC⊥AE.

因?yàn)镾C⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.

又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，

所以AE⊥SB.