1.已知直線l1，l2與平面α，有下列說法：

①若l1∥α，l1∥l2，則l2∥α;②l1 α，l2∩α=A，則l1與l2為異面直線;③若l1⊥α，l2⊥α，則l1∥l2;④若l1⊥l2，l1∥α，則l2∥α.

其中正確的個數有(　　)

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

【解析】選B.①錯，因為l2還可能在α內.②錯，當A∈l1時，l1∩l2=A.③對，是線面垂直的性質定理.④錯，l2與α的位置關系不確定.

2.(2014•松原高一檢測)BC是Rt△ABC的斜邊，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于點D，連接AD，則圖中共有直角三角形的個數

是(　　)

A.8 B.7

C.6 D.5

【解析】選A.因為AP⊥平面ABC，BC 平面ABC，

所以PA⊥BC，又PD⊥BC于D，PD∩PA=P，

所以BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以BC⊥AD.

又BC是Rt△ABC的斜邊，所以∠BAC為直角.

所以圖中的直角三角形有：△ABC，△PAC，△PAB，△PAD，△PDC，△PDB，

△ADC，△ADB.

3.在空間中，下列說法正確的有(　　)

①平行于同一條直線的兩條直線互相平行;

②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;

③平行于同一平面的兩條直線互相平行;

④兩條異面直線不可能垂直于同一平面.

A. 1個 B.2個 C.3個 D.4個

【解析】選B.由公理4知①正確，由線面垂直的性質定理知④正確.對于②，空間中垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行、異面都有可能.對③中的兩條平行于同一個平面的直線，其位置關系不確定.

4.(2013•廣東高考)設l為直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法中正確的是(　　)

A.若l∥α，l∥β，則α∥β B.若l⊥α，l⊥β，則α∥β

C.若l⊥α，l∥β，則α∥β D.若α⊥β，l∥α，則l⊥β

【解析】選B.對于選項A，兩個平面α，β平行于同一條直線，不能確定兩平面平行還是相交(若兩平面相交能確定與交線平行);對于選項B，垂直于同一條直線的兩個平面平行(直線是公垂線);對于選項C，能推出兩個平面相交且兩個平面垂直;對于選項D，l∥β，l⊥β，l β都可能.

5.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB=90°，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　)

A.PA=PB>PC

B.PA=PB

C.PA=PB=PC

D.PA≠PB≠PC

【解析】選C.

因為△ABC為直角三角形，M為斜邊AB的中點，

所以MA=MB=MC，

因為PM垂直于△ABC所在平面，

所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，

所以PA=PB=PC .

【變式訓練】已知直線PG⊥平面α于G，直線EF α，且PF⊥EF于F，那么線段PE，PF，PG的關系是(　　)

A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE

C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG

【解析】選C.在Rt△PFE中，PE>PF;在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG.

6.(2014•吉安高二檢測)如圖，設平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α.垂足分別為B，D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，這個條件不可能是下面四個選項中的(　　)

A.AC⊥β

B.AC⊥EF

C.AC與BD在β內的射影在同一條直線上

D.AC與α，β所成的角相等

【解析】選D.對于A.若AC⊥β，EF β，則AC⊥EF.

又AB⊥α，EF α，則AB⊥EF，AB⊥α，CD⊥α，

所以AB∥CD，

故ABDC確定一個平面，又AC∩AB=A，

所以EF⊥平面ABDC，

BD 平面ABDC，所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.對于選項C.由于AC與BD在β內的射影在同一條直線上，所以平面ABDC與平面β垂直，又因為EF⊥AB，所以EF⊥平面ABDC，所以EF⊥BD.對于D，若AC∥EF，則AC與α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF.二、填空題(每小題4分，共12分)

7.(2014•無錫高二檢測)已知直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，直線a⊥m，a⊥n，直線b⊥m，b⊥n，則直線a，b的位置關系是________.

【解析】因為直線a⊥m，a⊥n，直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可證直線b⊥α，所以a∥b.

答案：a∥b

8.若三個平面兩兩垂直，它們交于一點A，空間一點C1到三個平面的距離分別為5，6，7，則AC1的長為________.

【解析】如圖構造長方體，可知長方體的長、寬、高分別為7，6，5，AC1為體對角線，所以AC1= = .

答案：

9.AB是☉O的直徑，點C是☉O上的動點(點C不與A，B重合)，過動點C的直線VC垂直于☉O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點，則下列結論中正確的是________(填寫正確結論的序號).

(1)直線DE∥平面ABC.

(2)直線DE⊥平面VBC.

(3)DE⊥VB.

(4)DE⊥AB.

【解析】因為AB是☉O的直徑，點C是☉O上的動點(點C不與A，B重合)，

所以AC⊥BC，

因為VC垂直于☉O所在的平面，

所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，

所以AC⊥平面VBC.

因為D，E分別是VA，VC的中點，

所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

DE⊥平面VBC，DE⊥VB，

DE與AB所成的角為∠BAC是銳角，故DE⊥AB不成立.

由以上分析可知(1)(2)(3)正確.

答案：(1)(2)(3)

三、解答題(每小題10分，共20分)

10.(2014•開封高一檢測)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

(1)求證：AB⊥A1C.

(2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

【解析】(1)如圖，

取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B.

因為CA=CB，所以OC⊥AB.

由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B為等邊三角形，

所以OA1⊥AB.

因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由題設知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，

所以OC=OA1= .

又A1C= ，則A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC.

因為OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，所以OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面積S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1= × =3.

11.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中點.

(1)求證：C1D⊥平面A1B.

(2)當點F在BB1上什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結論.

【解析】(1)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.

又D是A1B1的中點，

所以C1D⊥A1B1.

因為AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，

所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，

所以C1D⊥平面A1B.

(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點F即為所求.

證明：因為C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，

所以C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，

所以AB1⊥平面C1DF.

【變式訓練】如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F，G.求證：AE⊥SB.

【證明】因為SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因為BC⊥AB，

SA∩AB=A，

所以BC⊥平面SAB，

又AE 平面SAB，所以BC⊥AE.

因為SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.

又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，

所以AE⊥SB.