教學(xué)目標(biāo)
(1)通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系;(2)在兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，會(huì)在散點(diǎn)較長(zhǎng)中作出線性直線，會(huì)用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè);(3)知道小二乘法的含義，知道小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，了解(線性)相關(guān)系數(shù)的定義.教學(xué)重點(diǎn)散點(diǎn)圖的畫法，回歸直線方程的求解方法.教學(xué)難點(diǎn)回歸直線方程的求解方法.教學(xué)過(guò)程
一、問(wèn)題情境1.情境：客觀事物是相互聯(lián)系的 過(guò)去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系，但實(shí)際上更多存在的是一種非因果關(guān)系 比如說(shuō)：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)，彼此是互相聯(lián)系的，但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因”，物理是“果”，或者反過(guò)來(lái)說(shuō) 事實(shí)上數(shù)學(xué)和物理成績(jī)都是“果”，而真正的“因”是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度 所以說(shuō)，函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系 但還存在著另一種非確定性關(guān)系——相關(guān)關(guān)系2.問(wèn)題：某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：氣溫/ C261813104杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是 ，你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?
二、學(xué)生活動(dòng)為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關(guān)系，我們以橫坐標(biāo) 表示氣溫，縱坐標(biāo) 表示熱茶銷量，建立直角坐標(biāo)系，將表中數(shù)據(jù)構(gòu)成的 個(gè)數(shù)對(duì)所表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出，得到下圖，今后我們稱這樣的圖為散點(diǎn)圖(scatterplot).從右圖可以看出.這些點(diǎn)散布在一條直線的附近,故可用一個(gè)線性函數(shù)近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系.選擇怎樣的直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系?我們有多種思考方案:(1)選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn),例如取 這兩點(diǎn)的直線;(2)取一條直線,使得位于該直線一側(cè)和另一側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同;(3)多取幾組點(diǎn),確定幾條直線方程,再分別算出各條直線斜率、截距的平均值,作為所求直線的斜率、截距;………………怎樣的直線好呢?
三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1.小平方法：用方程為 的直線擬合散點(diǎn)圖中的點(diǎn)，應(yīng)使得該直線與散點(diǎn)圖中的點(diǎn)接近。那么，怎樣衡量直線 與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度呢?我們將表中給出的自變量 的六個(gè)值帶入直線方程,得到相應(yīng)的六個(gè) 的值:.這六個(gè)值與表中相應(yīng)的實(shí)際值應(yīng)該越接近越好.所以,我們用類似
于估計(jì)平均數(shù)時(shí)的思想,考慮離差的平方和是直線 與各散點(diǎn)在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和,可以用來(lái)衡量直線 與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度,所以,設(shè)法取 的值,使 達(dá)到小值.這種方法叫做小平方法(又稱小二乘法) .先把 看作常數(shù),那么 是關(guān)于 的二次函數(shù).易知,當(dāng) 時(shí), 取得小值.同理, 把 看作常數(shù),那么 是關(guān)于 的二次函數(shù).當(dāng) 時(shí), 取得小值.因此,當(dāng) 時(shí)， 取的小值，由此解得 .所求直線方程為 .當(dāng) 時(shí), ,故當(dāng)氣溫為 時(shí),熱茶銷量約為 杯.2.線性相關(guān)關(guān)系：像能用直線方程 近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系.3.線性回歸方程：一般地,設(shè)有 個(gè)觀察數(shù)據(jù)如下：……當(dāng) 使 取得小值時(shí),就稱 為擬合這 對(duì)數(shù)據(jù)的線性回歸方程,該方程所表示的直線稱為回歸直線.上述式子展開(kāi)后，是一個(gè)關(guān)于 的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配方法，可求出使 為小值時(shí)的 的值.即,(*) ,
四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1 有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：溫度/℃-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律;(3)求回歸方程;(4)如果某天的氣溫是2 ℃，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù).結(jié)論：(1)散點(diǎn)圖如下圖所示：(2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少.(3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式①求出回歸方程的系數(shù).利用計(jì)算器容易求得回歸方程 =-2.352x+147.767.(4)當(dāng)x=2時(shí)， =143.063.因此，某天的氣溫為2 ℃時(shí)，這天大約可以賣出143杯熱飲.思考：氣溫為2 ℃時(shí)，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎?為什么?例2 下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料.機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x/千臺(tái)95110112120129135150180交通事故數(shù)y/千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說(shuō)明理由;(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程.結(jié)論：(1)在
直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如下圖.直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：=1 031， =71.6, =137 835， =9 611.7.將它們代入公式計(jì)算得b≈0.077 4,a=-1.024 1,所以,所求線性回歸方程為=0.077 4x-1.024 1.五、課堂小結(jié)：1.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù) 的計(jì)算公式，算出 .由于計(jì)算量較大，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤.求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù) ;計(jì)算 的積，求 ;計(jì)算 ;將結(jié)果代入公式求 ;用 求 ;寫出回歸方程