內(nèi)容與方法：整除性、分解定理、質(zhì)數(shù)與合數(shù)，公約數(shù)與公倍數(shù)、高斯函數(shù)、勾股數(shù)、不定方程、同余、剩余類、歐拉定理與費(fèi)爾馬定理、平方和問題、p進(jìn)制
1、在電腦屏幕上給出一個(gè)正2011邊形，它的頂點(diǎn)分別被涂成黑、白兩色;某程序執(zhí)
行這樣的操作：每次可選中多邊形連續(xù)的a個(gè)頂點(diǎn)(其中a是小于2011的一個(gè)固定的正整數(shù))，一按鼠標(biāo)鍵，將會(huì)使這a個(gè)頂點(diǎn)“黑白顛倒”，即黑點(diǎn)變白，而白點(diǎn)變黑;
(1)、證明：如果a為奇數(shù)，則可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成白色，也可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成黑色;
(2)、當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，是否也能經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有的頂點(diǎn)都變成一色?
00
證明你的結(jié)論.
2、試求x7y2011的所有正整數(shù)(x,y).
2
2
3、如果正整數(shù)a可表為：a235(m,n,kN)，就稱a為好數(shù).證明：
1a1
3
mnk
存在2012個(gè)互異好數(shù)a1,a2,,a2012，滿足：

1a2
3

1a2011
3

1a2012
3
.
4、設(shè)n4，若n元正整數(shù)集合M滿足：對(duì)任何整數(shù)k，都存在a,bM，ab，
使得ak與bk是不互質(zhì)的數(shù)，就稱M為“好集”.
證明：若M為“好集”，且M中所有元素之和為2011，則存在cM，使得從M中刪去元素c后，所得到的集MM\c仍為“好集”.
n
n
2012
5、設(shè)數(shù)n為正奇數(shù)，滿足n
k
k1
，證明：n
2
k
k1
2013
.
6、設(shè)T(n)為正整數(shù)n
的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，證明：T(n)
2
2
2
7、設(shè)P1,2,3,為全體正整數(shù)的平方所構(gòu)成的集合，如果正整數(shù)n能表成集
合P中的若干個(gè)(至少一個(gè))互異元素之和，就稱“數(shù)n具有P結(jié)構(gòu)”，記為nP;證明：不具有P結(jié)構(gòu)的正整數(shù)只有有限多個(gè).
8、對(duì)于給定的有限項(xiàng)的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,,an,進(jìn)行如下操作：如果jk，并且aj
不整除ak，那么將aj,ak分別換成(aj,ak)和[aj,ak];
證明：這個(gè)過程是有限的，并且最終的結(jié)果是的.
9、若正整數(shù)m,n,k滿足：mnk1，證明：存在x1,x2,y1,y2N，使以下三式：
mx1y1, nx2y2, kx1x2y1y2 同時(shí)成立.
p12
2
2
2
2
2
10、若p4n1為質(zhì)數(shù)，則
r1
r2p1
，(即 p4k2
. pn)
k1
2n
11、設(shè)p為奇質(zhì)數(shù)，a,b是小于p的正整數(shù)，證明：abp的必要充分條件是：對(duì)
2an2bn
任何小于p的正整數(shù)n，均有正奇數(shù). (其中方括號(hào)表示取整.)
pp