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　　一、選擇題(每小題3分,共30分)

　　1.下面關(guān)于x的方程中:①ax2+x+2=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=;

　�、�(a2+a+1)x2-a=0;⑤=x-1.一元二次方程的個(gè)數(shù)是()

　　A.1B.2C.3D.4

　　【解析】選B.方程①與a的取值有關(guān),當(dāng)a=0時(shí),不是一元二次方程;方程②經(jīng)過整理后,二次項(xiàng)系數(shù)為2,是一元二次方程;方程③是分式方程;方程④的二次項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過配方后可化為+,不論a取何值,都不為0,所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程,故一元二次方程有2個(gè).

　　【知識歸納】判斷一元二次方程的幾點(diǎn)注意

　　(1)一般形式:ax2+bx+c=0,特別注意a≠0.

　　(2)整理后看是否符合一元二次方程的形式.

　　(3)一元二次方程是整式方程,分式方程不屬于一元二次方程.

　　2.若(x+y)(1-x-y)+6=0,則x+y的值是()

　　A.2B.3C.-2或3D.2或-3

　　【解析】選C.設(shè)x+y=a,原式可化為a(1-a)+6=0,解得a1=3,a2=-2.

　　3.如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么k的取值范圍是()

　　A.k>-B.k>-且k≠0

　　C.k<-D.k≥-且k≠0

　　【解析】選B.依題意,得k2≠0,(2k+1)2-4k2×1>0,解得k>-且k≠0.故選B.

　　4.某種商品零售價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為降價(jià)前的81%,則平均每次降價(jià)

　　()

　　A.10%B.19%C.9.5%D.20%

　　【解析】選A.設(shè)平均每次降價(jià)x,由題意得,(1-x)2=0.81,所以1-x=±0.9,所以x1=1.9(舍去),x2=0.1,所以平均每次降價(jià)10%.

　　5.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2-1與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

　　A.3B.2C.1D.0

　　【解析】選B.把a(bǔ)=1,b=0,c=-1代入b2-4ac得0+4>0,故與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

　　6.已知二次函數(shù)y=ax2+c,當(dāng)x取x1,x2(x1≠x2)時(shí),函數(shù)值相等,則當(dāng)x取x1+x2時(shí),函數(shù)值為()

　　A.a+cB.a-cC.-cD.c

　　【解析】選D.由題意可知=,又x1≠x2,所以x1=-x2,即x1+x2=0,所以當(dāng)x取x1+x2時(shí),函數(shù)值為c.

　　7.(2013•宜賓中考)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是()w

　　A.k<1B.k>1C.k=1D.k≥0

　　【解析】選A.∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,a=1,b=2,c=k,

　　∴Δ=b2-4ac=22-4×1×k>0,

　　∴k<1.

　　8.關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1,x2,且+=7,則(x1-x2)2的值是()

　　A.1B.12C.13D.25

　　【解析】選C.由根與系數(shù)的關(guān)系可以知道:x1+x2=m,x1•x2=2m-1.

　　又+=7,所以(x1+x2)2-2x1x2=7.

　　把x1+x2=m,x1•x2=2m-1代入上式,

　　可以得到m2-2(2m-1)=7.

　　解這個(gè)關(guān)于m的方程:m=5或m=-1.

　　當(dāng)m=5時(shí),一元二次方程x2-mx+2m-1=0沒有實(shí)數(shù)根;

　　當(dāng)m=-1時(shí),一元二次方程x2-mx+2m-1=0有實(shí)數(shù)根.

　　所以m=5舍去,此時(shí)(x1-x2)2=+-2x1x2=13.

　　9.(2013•烏魯木齊中考)已知m,n,k為非負(fù)實(shí)數(shù),且m-k+1=2k+n=1,則代數(shù)式2k2-8k+6的最小值為()

　　A.-2B.0C.2D.2.5

　　【解析】選D.∵m,n,k為非負(fù)實(shí)數(shù),且m-k+1=2k+n=1,

　　∴解得0≤k≤.

　　∵y=2k2-8k+6=2(k-2)2-2中,當(dāng)k<2時(shí),y隨x的增大而減小,

　　∴當(dāng)k=時(shí),y最小=2-2=2.5.

　　10.(2013•聊城中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2經(jīng)過平移得到拋物線y=x2-2x,其對稱軸與兩段拋物線弧所圍成的陰影部分的面積為()

　　A.2B.4C.8D.16

　　【解析】選B.如圖,拋物線y=x2-2x的對稱軸是x=2,由對稱性可知,圖形M與圖形N的面積相等,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2),D點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2),E點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-2),拋物線y=x2-2x是由拋物線y=x2經(jīng)過平移得到的,因此圖形M與圖形Q的面積相等,所以P與N的面積和等于P與Q的面積和,因此所求陰影部分的面積是4.

　　二、填空題(每小題3分,共24分)

　　11.若(m+1)xm(m+2)-1+2mx-1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則m的值是.

　　【解析】由得m=-3或m=1.

　　答案:-3或1

　　12.已知二次函數(shù)y=(x-2a)2+(a-1)(a為常數(shù)),當(dāng)a取不同的值時(shí),其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”.如圖分別是當(dāng)a=-1,a=0,a=1,a=2時(shí)二次函數(shù)的圖象.它們的頂點(diǎn)在一條直線上,這條直線的解析式是y=.

　　【解析】由拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-2a)2+(a-1)可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2a,a-1),即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2a,變形的a=0.5x,縱坐標(biāo)y=a-1,所以y=0.5x-1.

　　答案:0.5x-1

　　13.關(guān)于x的一元二次方程(p-1)x2-x+p2-1=0的一個(gè)根為0,則實(shí)數(shù)p的值是.

　　【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程(p-1)x2-x+p2-1=0的一個(gè)根為0,

　　∴x=0滿足方程(p-1)x2-x+p2-1=0,

　　∴p2-1=0,解得p=1或p=-1.

　　又∵p-1≠0,即p≠1,∴實(shí)數(shù)p的值是-1.

　　答案:-1

　　【變式訓(xùn)練】關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m=0的一個(gè)根為1,則方程的另一根為.

　　【解析】把x=1代入x2-mx+2m=0,得m=-1,所以方程x2-mx+2m=0化為x2+x-2=0,解這個(gè)方程得x1=1,x2=-2,所以方程的另一根為-2.

　　答案:-2

　　14.若a+b+c=0且a≠0,則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一個(gè)定根,它是.

　　【解析】由a+b+c=0,得b=-(a+c),原方程可化為ax2-(a+c)x+c=0,

　　解得x1=1,x2=.

　　答案:1

　　【一題多解】由一元二次方程ax2+bx+c=0知,當(dāng)x=1時(shí),原方程可化為a+b+c=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0必有一個(gè)定根1.

　　答案:1

　　15.(2013•荊門中考)設(shè)x1,x2是方程x2-x-2013=0的兩實(shí)數(shù)根,則+2014x2-2013=.

　　【解析】x2-x-2013=0,

　　∴x2=x+2013,x=x2-2013.

　　又∵x1,x2是方程x2-x-2013=0的兩實(shí)數(shù)根,

　　∴x1+x2=1,

　　∴+2014x2-2013

　　=x1•+2013x2+x2-2013

　　=x1•(x1+2013)+2013x2+x2-2013

　　=+2013x1+2013x2+x2-2013

　　=(x1+2013)+2013x1+2013x2+x2-2013

　　=x1+x2+2013(x1+x2)+2013-2013

　　=1+2013

　　=2014.

　　答案:2014

　　16.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為P(-2,3),且過A(-3,0),則拋物線的解析式為.

　　【解析】設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)2+3,把點(diǎn)A(-3,0)代入上式,得a=-3,所以拋物線解析式為y=-3(x+2)2+3=-3x2-12x-9.

　　答案:y=-3x2-12x-9

　　17.(2014•湖北安陸質(zhì)檢)拋物線y=ax2+bx+c如圖所示,則它關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式是.

　　【解析】由圖知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0,3),(1,0),(3,0),所以它關(guān)于y軸對稱的拋物線過點(diǎn)(0,3),(-1,0),(-3,0),

　　設(shè)所求拋物線解析式為y=a(x+1)(x+3),把(0,3)代入上式,得a=1,所以y=(x+1)(x+3)=x2+4x+3.

　　答案:y=x2+4x+3

　　【易錯(cuò)提醒】求關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式,應(yīng)先求出新拋物線經(jīng)過的點(diǎn),再求新拋物線的解析式,本題易誤認(rèn)為求原拋物線的解析式.

　　18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A是拋物線y=a(x-3)2+k與y軸的交點(diǎn),點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn),且AB∥x軸,則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為.

　　【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A是拋物線y=a(x-3)2+k與y軸的交點(diǎn),所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,所以AB=6,所以以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為18.

　　答案:18

　　三、解答題(共66分)

　　19.(6分)(2014•長春二中月考)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“⊕”,其法則為:a⊕b=a2-b2,求方程(4⊕3)⊕x=24的解.

　　【解析】∵a⊕b=a2-b2,∴(4⊕3)⊕x=(42-32)⊕x=7⊕x=72-x2.

　　∴72-x2=24,∴x2=25,∴x=±5.

　　20.(8分)已知關(guān)于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的兩根之和為-1,兩根之差為1,其中a,b,c是△ABC的三邊長.

　　(1)求方程的根.

　　(2)試判斷△ABC的形狀.

　　【解析】(1)設(shè)方程的兩根為x1,x2(x1>x2),則x1+x2=-1,x1-x2=1,

　　解得x1=0,x2=-1.

　　(2)當(dāng)x=0時(shí),

　　(a+c)×02+2b×0-(c-a)=0,所以c=a.

　　當(dāng)x=-1時(shí),

　　(a+c)×(-1)2+2b×(-1)-(c-a)=0,

　　即a+c-2b-c+a=0,

　　所以a=b,所以a=b=c,

　　所以△ABC為等邊三角形.

　　21.(8分)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),在一定的時(shí)間范圍內(nèi),學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間(單位:分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越強(qiáng).

　　(1)若用10分鐘提出概念,學(xué)生的接受能力y的值是多少?

　　(2)如果改用8分鐘或15分鐘來提出這一概念,那么與用10分鐘相比,學(xué)生的接受能力是增強(qiáng)了還是減弱了?通過計(jì)算來回答.

　　【解析】(1)當(dāng)x=10時(shí),y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×100+2.6×10+43=59.

　　(2)當(dāng)x=8時(shí),y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×82+2.6×8+43=57.4,

　　∴用8分鐘與用10分鐘相比,學(xué)生的接受能力減弱了;

　　當(dāng)x=15時(shí),y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×152+2.6×15+43=59.5,

　　∴用15分鐘與用10分鐘相比,學(xué)生的接受能力增強(qiáng)了.

　　22.(8分)(2013•來賓中考)某商場以每件280元的價(jià)格購進(jìn)一批商品,當(dāng)每件商品售價(jià)為360元時(shí),每月可售出60件,為了擴(kuò)大銷售,商場決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件商品降價(jià)1元,那么商場每月就可以多售出5件.

　　(1)降價(jià)前商場每月銷售該商品的利潤是多少元?

　　(2)要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元,且更有利于減少庫存,則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?

　　【解析】(1)由題意,得60(360-280)=4800元.

　　答:降價(jià)前商場每月銷售該商品的利潤是4800元.

　　(2)設(shè)要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元,且更有利于減少庫存,則每件商品應(yīng)降價(jià)x元,

　　由題意,得(360-x-280)(5x+60)=7200,

　　解得:x1=8,x2=60.

　　∵有利于減少庫存,∴x=60.

　　答:要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元,且更有利于減少庫存,則每件商品應(yīng)降價(jià)60元.

　　23.(8分)(2013•溫州中考)如圖,拋物線y=a(x-1)2+4與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D,連接BD,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).

　　(1)求拋物線的解析式.

　　(2)求梯形COBD的面積.

　　【解析】(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,

　　得0=4a+4,∴a=-1,∴y=-(x-1)2+4.

　　(2)令x=0,得y=3,

　　∴OC=3.

　　∵拋物線y=-(x-1)2+4的對稱軸是直線x=1,

　　∴CD=1.

　　∵A(-1,0),∴B(3,0),∴OB=3,

　　∴S梯形COBD==6.

　　24.(9分)有一批圖形計(jì)算器,原售價(jià)為每臺800元,在甲、乙兩家公司銷售.甲公司用如下方法促銷:買一臺單價(jià)為780元,買兩臺每臺都為760元.依次類推,即每多買一臺,則所買各臺單價(jià)均再減20元,但最低不能低于每臺440元;乙公司一律按原售價(jià)的75%促銷.某單位需購買一批圖形計(jì)算器:

　　(1)若此單位需購買6臺圖形計(jì)算器,應(yīng)去哪家公司購買花費(fèi)較少?

　　(2)若此單位恰好花費(fèi)7500元,在同一家公司購買了一定數(shù)量的圖形計(jì)算器,請問是在哪家公司購買的,數(shù)量是多少?

　　【解析】(1)在甲公司購買6臺圖形計(jì)算器需要用6×(800-20×6)=4080(元);在乙公司購買需要用75%×800×6=3600(元)<4080(元).應(yīng)去乙公司購買.

　　(2)設(shè)該單位買x臺圖形計(jì)算器,若在甲公司購買則需要花費(fèi)x(800-20x)元;若在乙公司購買則需要花費(fèi)75%×800x=600x元.

　�、偃粼搯挝皇窃诩坠�司花費(fèi)7500元購買的圖形計(jì)算器,

　　則有x(800-20x)=7500,解得x=15或x=25.

　　當(dāng)x=15時(shí),每臺單價(jià)為800-20×15=500>440,符合題意.

　　當(dāng)x=25時(shí),每臺單價(jià)為800-20×25=300<440,不符合題意,舍去.

　　②若該單位是在乙公司花費(fèi)7500元購買的圖形計(jì)算器,

　　則有600x=7500,解得x=12.5,不符合題意,舍去.

　　故該單位是在甲公司購買的圖形計(jì)算器,買了15臺.

　　25.(9分)(2013•哈爾濱中考)某水渠的橫截面呈拋物線型,水面的寬為AB(單位:m),現(xiàn)以AB所在直線為x軸,以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,已知AB=8m,設(shè)拋物線解析式為y=ax2-4.

　　(1)求a的值.

　　(2)點(diǎn)C(-1,m)是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D,連接CD,BC,BD,求△BCD的面積.

　　【解析】(1)∵AB=8,由拋物線的對稱性可知OB=4,∴B(4,0),0=16a-4,∴a=.

　　(2)過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,過點(diǎn)D作DF⊥AB于F,

　　∵a=,∴y=x2-4.

　　令x=-1,∴m=×(-1)2-4=-,∴C.∵點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為D,

　　∴D,∴CE=DF=,S△BCD=S△BOD+S△BOC=OB•DF+OB•CE=×4×+×4×=15.∴△BCD的面積為15m2.

　　26.(10分)(2013•烏魯木齊中考)某公司銷售一種進(jìn)價(jià)為20元/個(gè)的計(jì)算器,其銷售量y(萬個(gè))與銷售價(jià)格x(元/個(gè))的變化如表:

　　價(jià)格x

　　(元/個(gè))…30405060…

　　銷售量

　　y(萬個(gè))…5432…

　　同時(shí),銷售過程中的其他開支(不含進(jìn)價(jià))總計(jì)40萬元.

　　(1)觀察并分析表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系,用學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識寫出y(萬個(gè))與x(元/個(gè))的函數(shù)解析式.

　　(2)求得該公司銷售這種計(jì)算器的凈得利潤z(萬元)與銷售價(jià)格x(元/個(gè))的函數(shù)解析式,銷售價(jià)格定為多少元時(shí)凈得利潤,值是多少?

　　(3)該公司要求凈得利潤不能低于40萬元,請寫出銷售價(jià)格x(元/個(gè))的取值范圍,若還需考慮銷售量盡可能大,銷售價(jià)格應(yīng)定為多少元?

　　【解析】(1)表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)y=kx+b,

　　由題意得解得

　　故y(萬個(gè))與x(元/個(gè))的函數(shù)解析式為y=-0.1x+8.

　　(2)由題意得z=(x-20)y-40=(x-20)(-0.1x+8)-40=-0.1x2+10x-200,

　　即z=-0.1x2+10x-200為這種計(jì)算器的凈得利潤z(萬元)與銷售價(jià)格x(元/個(gè))的函數(shù)解析式.

　　∵z=-0.1x2+10x-200=-0.1(x-50)2+50,

　　∴當(dāng)x=50時(shí),z值=50,即銷售價(jià)格定為50元時(shí)凈得利潤,值是50萬元.

　　(3)當(dāng)z=40時(shí),-0.1(x-50)2+50=40,(x-50)2=100,解得x=40或60.

　　又∵該公司要求凈得利潤不能低于40萬元,

　　∴40≤x≤60.

　　又∵還需考慮銷售量盡可能大,即y盡可能大,x盡可能小,∴x=40.

　　∴銷售價(jià)格x(元/個(gè))的取值范圍是40≤x≤60,若還需考慮銷售量盡可能大,銷售價(jià)格應(yīng)定為40元/個(gè).