1.了解旋轉(zhuǎn)及其旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的概念,了解旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的概念及其應(yīng)用它們解決一些實(shí)際問題.
2.通過復(fù)習(xí)平移、軸對(duì)稱的有關(guān)概念及性質(zhì),從生活中的數(shù)學(xué)開始,經(jīng)歷觀察,產(chǎn)生概念,應(yīng)用概念解決一些實(shí)際問題.
3.旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì).
重點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的有關(guān)概念及其應(yīng)用.
難點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì).
一、復(fù)習(xí)引入
(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下面各題.
1.將如圖所示的四邊形ABCD平移,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,作出平移后的圖形.
2.如圖,已知△ABC和直線l,請(qǐng)你畫出△ABC關(guān)于l的對(duì)稱圖形△A′B′C′.
3.圓是軸對(duì)稱圖形嗎?等腰三角形呢?你還能指出其它的嗎?
(口述)老師點(diǎn)評(píng)并總結(jié):
(1)平移的有關(guān)概念及性質(zhì).
(2)如何畫一個(gè)圖形關(guān)于一條直線(對(duì)稱軸)的對(duì)稱圖形并口述它具有的一些性質(zhì).
(3)什么叫軸對(duì)稱圖形?
二、探索新知
我們前面已經(jīng)復(fù)習(xí)平移等有關(guān)內(nèi)容,生活中是否還有其它運(yùn)動(dòng)變化呢?回答是肯定的,下面我們就來研究.
1.請(qǐng)同學(xué)們看講臺(tái)上的大時(shí)鐘,有什么在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)?旋轉(zhuǎn)圍繞什么點(diǎn)呢?從現(xiàn)在到下課時(shí)針轉(zhuǎn)了多少度?分針轉(zhuǎn)了多少度?秒針轉(zhuǎn)了多少度?
(口答)老師點(diǎn)評(píng):時(shí)針、分針、秒針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng),它們都繞時(shí)鐘的中心.從現(xiàn)在到下課時(shí)針轉(zhuǎn)了________度,分針轉(zhuǎn)了________度,秒針轉(zhuǎn)了________度.
2.再看我自制的好像風(fēng)車風(fēng)輪的玩具,它可以不停地轉(zhuǎn)動(dòng).如何轉(zhuǎn)到新的位置?(老師點(diǎn)評(píng)略)
3.第1,2兩題有什么共同特點(diǎn)呢?
共同特點(diǎn)是如果我們把時(shí)鐘、風(fēng)車風(fēng)輪當(dāng)成一個(gè)圖形,那么這些圖形都可以繞著某一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度.
像這樣,把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn),點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.
如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′,那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
下面我們來運(yùn)用這些概念來解決一些問題.
例1如圖,如果把鐘表的指針看做三角形OAB,它繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△OEF,在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中:
(1)旋轉(zhuǎn)中心是什么?旋轉(zhuǎn)角是什么?
(2)經(jīng)過旋轉(zhuǎn),點(diǎn)A,B分別移動(dòng)到什么位置?
解:(1)旋轉(zhuǎn)中心是O,∠AOE,∠BOF等都是旋轉(zhuǎn)角.
(2)經(jīng)過旋轉(zhuǎn),點(diǎn)A和點(diǎn)B分別移動(dòng)到點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置.
自主探究:
請(qǐng)看我手里拿著的硬紙板,我在硬紙板上挖下一個(gè)三角形的洞,再挖一個(gè)點(diǎn)O作為旋轉(zhuǎn)中心,把挖好的硬紙板放在黑板上,先在黑板上描出這個(gè)挖掉的三角形圖案(△ABC),然后圍繞旋轉(zhuǎn)中心O轉(zhuǎn)動(dòng)硬紙板,在黑板上再描出這個(gè)挖掉的三角形(△A′B′C′),移去硬紙板.
(分組討論)根據(jù)圖回答下面問題(一組推薦一人上臺(tái)說明)
1.線段OA與OA′,OB與OB′,OC與OC′有什么關(guān)系?
2.∠AOA′,∠BOB′,∠COC′有什么關(guān)系?
3.△ABC與△A′B′C′的形狀和大小有什么關(guān)系?
老師點(diǎn)評(píng):1.OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′,也就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.
2.∠AOA′=∠BOB′=∠COC′,我們把這三個(gè)相等的角,即對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角稱為旋轉(zhuǎn)角.
3.△ABC和△A′B′C′形狀相同和大小相等,即全等.
綜合以上的實(shí)驗(yàn)操作得出:
(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;
(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;
(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.
例2如圖,△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,試確定頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置,以及旋轉(zhuǎn)后的三角形.
分析:繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn),A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D點(diǎn),那么旋轉(zhuǎn)角就是∠ACD,根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,即∠BCB′=∠ACD,又由對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,即CB=CB′,就可確定B′的位置,如圖所示.
解:(1)連接CD;
(2)以CB為一邊作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD;
(3)在射線CE上截取CB′=CB,則B′即為所求的B的對(duì)應(yīng)點(diǎn);
(4)連接DB′,則△DB′C就是△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的圖形.
三、課堂小結(jié)
(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))
本節(jié)課應(yīng)掌握:
1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;
2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;
3.旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等及其它們的應(yīng)用.
四、作業(yè)布置
教材第62~63頁習(xí)題4,5,6.
1.正確認(rèn)識(shí)什么是中心對(duì)稱、對(duì)稱中心,理解關(guān)于中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)特點(diǎn).
2.能根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì),作出一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱圖形.
重點(diǎn)
中心對(duì)稱的概念及性質(zhì).
難點(diǎn)
中心對(duì)稱性質(zhì)的推導(dǎo)及理解.
復(fù)習(xí)引入
問題:作出下圖的兩個(gè)圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的圖案,并回答下列的問題:
1.以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)180°后兩個(gè)圖形是否重合?
2.各對(duì)應(yīng)點(diǎn)繞O旋轉(zhuǎn)180°后,這三點(diǎn)是否在一條直線上?
老師點(diǎn)評(píng):可以發(fā)現(xiàn),如圖所示的兩個(gè)圖案繞O旋轉(zhuǎn)180°后都是重合的,即甲圖與乙圖重合,△OAB與△COD重合.
像這樣,把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱,這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.
這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn).
探索新知
(老師)在黑板上畫一個(gè)三角形ABC,分兩種情況作兩個(gè)圖形:
(1)作△ABC一頂點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形;
(2)作關(guān)于一定點(diǎn)O為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形.
第一步,畫出△ABC.
第二步,以△ABC的C點(diǎn)(或O點(diǎn))為中心,旋轉(zhuǎn)180°畫出△A′B′C和△A′B′C′,如圖(1)和圖(2)所示.
從圖(1)中可以得出△ABC與△A′B′C是全等三角形;
分別連接對(duì)稱點(diǎn)AA′,BB′,CC′,點(diǎn)O在這些線段上且O平分這些線段.
下面,我們就以圖(2)為例來證明這兩個(gè)結(jié)論.
證明:(1)在△ABC和△A′B′C′中,OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A′OB′,∴△AOB≌△A′OB′,∴AB=A′B′,同理可證:AC=A′C′,BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′;
(2)點(diǎn)A′是點(diǎn)A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到的,即線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到線段OA′,所以點(diǎn)O在線段AA′上,且OA=OA′,即點(diǎn)O是線段AA′的中點(diǎn).
同樣地,點(diǎn)O也在線段BB′和CC′上,且OB=OB′,OC=OC′,即點(diǎn)O是BB′和CC′的中點(diǎn).
因此,我們就得到
1.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心,而且被對(duì)稱中心所平分.
2.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.
例題精講
例1如圖,已知△ABC和點(diǎn)O,畫出△DEF,使△DEF和△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱.
分析:中心對(duì)稱就是旋轉(zhuǎn)180°,關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱就是繞O旋轉(zhuǎn)180°,因此,我們連AO,BO,CO并延長(zhǎng),取與它們相等的線段即可得到.
解:(1)連接AO并延長(zhǎng)AO到D,使OD=OA,于是得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D,如圖所示.
(2)同樣畫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E和F.
(3)順次連接DE,EF,F(xiàn)D,則△DEF即為所求的三角形.
例2(學(xué)生練習(xí),老師點(diǎn)評(píng))如圖,已知四邊形ABCD和點(diǎn)O,畫四邊形A′B′C′D′,使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(只保留作圖痕跡,不要求寫出作法).
課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))
本節(jié)課應(yīng)掌握:
中心對(duì)稱的兩條基本性質(zhì):
1.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線都經(jīng)過對(duì)稱中心,而且被對(duì)稱中心所平分;
2.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形及其它們的應(yīng)用.
作業(yè)布置
教材第66頁練習(xí)