【篇一】
(1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？
(2)如何定義平面向量基底？
(3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？
[新知初探]
1．平面向量基本定理
條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量
結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
[點(diǎn)睛]對(duì)平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是的；③基底不，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底．
2．向量的夾角
條件兩個(gè)非零向量a和b
產(chǎn)生過程
作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角
范圍0°≤θ≤180°
特殊情況θ＝0°a與b同向
θ＝90°a與b垂直，記作a⊥b
θ＝180°a與b反向
[點(diǎn)睛]當(dāng)a與b共線同向時(shí)，夾角θ為0°，共線反向時(shí)，夾角θ為180°，所以兩個(gè)向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底．()
(2)一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．()
(3)零向量不可以作為基底中的向量．()
答案：(1)×(2)√(3)√
2．若向量a，b的夾角為30°，則向量－a，－b的夾角為()
A．60°B．30°
C．120°D．150°
答案：B
3．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是()
A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2D．e1，e1＋e2
答案：B
4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量，的夾角為______．
答案：135°
用基底表示向量
[典例]如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線＝a，＝b，試用基底a，b表示，.
[解]法一：由題意知，＝＝12＝12a，＝＝12＝12b.
所以＝＋＝－＝12a－12b，
�。剑�12a＋12b，
法二：設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)，
又＋＝，－＝，則x＋y＝a，y－x＝b，
所以x＝12a－12b，y＝12a＋12b，
即＝12a－12b，＝12a＋12b.
用基底表示向量的方法
將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的性求解．
[活學(xué)活用]
如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC＝3AD，＝a，＝b.試以a，b為基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，
∴＝13＝13b.
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴＝＝12＝16b.
∵＝12，∴＝12b，
∴＝＋＋
�。剑�16b－a＋12b＝13b－a，
�。剑剑�16b＋13b－a＝16b－a，
�。剑剑�(＋)
�。剑�(＋)＝－16b－a＋12b
＝a－23b.
向量夾角的簡(jiǎn)單求解
[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
[解]如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b.
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以與的夾角為30°，與的夾角為60°.
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.
求兩個(gè)向量夾角的方法
求兩個(gè)向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角．過程簡(jiǎn)記為“一作二證三算”．
[活學(xué)活用]
如圖，已知△ABC是等邊三角形．
(1)求向量與向量的夾角；
(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角．
解：(1)∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°.
如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使AB＝BD，則＝，
∴∠DBC為向量與的夾角．
∵∠DBC＝120°，
∴向量與的夾角為120°.
(2)∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
∴與的夾角為90°.
平面向量基本定理的應(yīng)用
[典例]如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN.
[解]設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ
�。剑薳1－3λe2，
�。溅蹋�2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.
∴＝45，＝35，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
[一題多變]
1．[變?cè)O(shè)問]在本例條件下，若＝a，＝b，試用a，b表示，
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則＝25，
＝＋＝＋25＝b＋25(－)
�。絙＋45a－25b＝35b＋45a.
2．[變條件]若本例中的點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN.
解：如圖，設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ
�。剑薳1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.
∴＝23，＝23，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．
層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知ABCD中∠DAB＝30°，則與的夾角為()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：選D如圖，與的夾角為∠ABC＝150°.
2．設(shè)點(diǎn)O是ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()
①與；②與；③與；④與.
A．①②B．①③
C．①④D．③④
解析：選B尋找不共線的向量組即可，在ABCD中，與不共線，與不共線；而∥，∥，故①③可作為基底．
3．若AD是△ABC的中線，已知＝a，＝b，則以a，b為基底表示＝()
A．12(a－b)B．12(a＋b)
C．12(b－a)D．12b＋a
解析：選B如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點(diǎn)，從而＝，即－＝－，從而＝12(＋)＝12(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若＝e1，＝e2，則＝()
A．12(e1＋e2)B．12(e1－e2)
C．12(2e2－e1)D．12(e2－e1)
解析：選A因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，＝e1，＝e2，所以＝12(＋)＝12(e1＋e2)，故選A.
5．(全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則()
A．＝－13＋43
B．＝13－43
C．＝43＋13
D．＝43－13
解析：選A由題意得＝＋＝＋13＝＋13－13＝－13＋43.
6．已知向量a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為______．
解析：∵a，b是一組基底，∴a與b不共線，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是兩個(gè)不共線向量，a＝k2e1＋1－5k2e2與b＝2e1＋3e2共線，則實(shí)數(shù)k＝______.
解析：由題設(shè)，知k22＝1－5k23，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或13.
答案：－2或13
8．如下圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則在以a，b為基底時(shí)，可表示為______，在以a，c為基底時(shí)，可表示為______．
解析：以a，c為基底時(shí)，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得．
答案：a＋b2a＋c
9.如圖所示，設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點(diǎn)，且＝13，＝13，＝13，若＝a，＝b，試用a，b將，，表示出來．
解：＝－
�。�13－23＝13a－23b，
�。剑剑�13－23＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b，
�。剑剑�(＋)＝13(a＋b)．
10．證明：三角形的三條中線共點(diǎn)．
證明：如圖所示，設(shè)AD，BE，CF分別為△ABC的三條中線，令＝a，＝b.則有＝b－a.
設(shè)G在AD上，且AGAD＝23，則有＝＋＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．
＝－＝12b－a.
∴＝－＝23－
�。�13(a＋b)－a＝13b－23a
�。�2312b－a＝23.
∴G在BE上，同理可證＝23，即G在CF上．
故AD，BE，CF三線交于同一點(diǎn)．
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，設(shè)＝a，＝b，則可用基底a，b表示為()
A．12(a＋b)B．23a＋13b
C．13a＋23bD．13(a＋b)
解析：選C∵＝2，∴＝23.
∴＝＋＝＋23＝＋23(－)＝13＋23＝13a＋23b.
2．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝a，＝b，則＝()
A．43a＋23bB．23a＋43b
C．23a－23bD．－23a＋23b
解析：選B設(shè)AD與BE交點(diǎn)為F，則＝13a，＝23b.所以＝＋＝23b＋13a，所以＝2＝23a＋43b.
3．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()
A．若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，則λ1＝λ2＝0
B．平面α內(nèi)任一向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)，λ1，λ2∈R
D．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對(duì)
解析：選BA中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D中，λ1，λ2有且只有一對(duì)．
4．已知非零向量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系是()
A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0
解析：選A由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.
5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，解得e1＝13a－23b，e2＝13a＋13b.
故e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b
�。�23a＋－13b.
答案：23－13
6．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________．
解析：由題意可畫出圖形，
在△OAB中，
因?yàn)椤螼AB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a與c的夾角為90°.
答案：90°
7．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)證明：a，b可以作為一組基底；
(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，
則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線，得λ＝1，3λ＝－2⇒λ＝1，λ＝－23.
∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．
(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
�。�(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1⇒m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
�。�(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒λ＝3，μ＝1.
故所求λ，μ的值分別為3和1.
8．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：＝34＋14.
(1)求△ABM與△ABC的面積之比．
(2)若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)O，設(shè)＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如圖，由＝34＋14可知M，B，C三點(diǎn)共線，
令＝λ⇒＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝14，所以S△ABMS△ABC＝14，即面積之比為1∶4.
(2)由＝x＋y⇒＝x＋y2，＝x4＋y，由O，M，A三點(diǎn)共線及O，N，C三點(diǎn)共線⇒x＋y2＝1，x4＋y＝1⇒x＝47，y＝67.
【篇二】
[新知初探]
1．向量的數(shù)乘運(yùn)算
(1)定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：
�、質(zhì)λa|＝|λ||a|；
�、诋�(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；
當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．
(2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
�、�(λ＋μ)a＝λa＋μa；
�、郐�(a＋b)＝λa＋λb；
特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
[點(diǎn)睛](1)實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ＋a，λ－a均無法運(yùn)算．
(2)λa的結(jié)果為向量，所以當(dāng)λ＝0時(shí)，得到的結(jié)果為0而不是0.
2．向量共線的條件
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
[點(diǎn)睛](1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0時(shí)，雖有a與b共線，但不存在實(shí)數(shù)λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a與b顯然共線，但實(shí)數(shù)λ不，任一實(shí)數(shù)λ都能使b＝λa成立．
(2)a是非零向量，b可以是0，這時(shí)0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不為零的實(shí)數(shù)．
3．向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向量a，b及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)λa的方向與a的方向一致．()
(2)共線向量定理中，條件a≠0可以去掉．()
(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b.()
答案：(1)×(2)×(3)×
2．若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是()
A．b＝2aB．b＝－2a
C．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)＝－2b
答案：A
3．在四邊形ABCD中，若＝－12，則此四邊形是()
A．平行四邊形B．菱形
C．梯形D．矩形
答案：C
4．化簡(jiǎn)：2(3a＋4b)－7a＝______.
答案：－a＋8b
向量的線性運(yùn)算
[例1]化簡(jiǎn)下列各式：
(1)3(6a＋b)－9a＋13b；
(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量線性運(yùn)算的方法
向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，共線向量可以合并，即“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指的是向量．
[活學(xué)活用]
化簡(jiǎn)下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)1622a＋8b－44a－2b.
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
用已知向量表示未知向量
[典例]如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，.
[解]由三角形中位線定理，知DE綊12BC，故＝12，即＝12a.
�。剑剑璦＋b＋12a＝－12a＋b.
�。剑�12＋＋12
＝－14a－b＋12a＝14a－b.
用已知向量表示未知向量的方法
用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其實(shí)質(zhì)是向量的線性運(yùn)算的反復(fù)應(yīng)用．
[活學(xué)活用]
如圖，四邊形OADB是以向量＝a，＝b為邊的平行四邊形．又＝13，＝13，試用a，b表示，，.
解：∵＝13＝16＝16(－)＝16(a－b)，
∴＝＋
＝b＋16a－16b＝16a＋56b.
∵＝13＝16，
∴＝＋＝12＋16
�。�23＝23(＋)＝23(a＋b)．
∴＝－
�。�23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
共線向量定理的應(yīng)用
題點(diǎn)一：判斷或證明點(diǎn)共線
1．已知兩個(gè)非零向量a與b不共線，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．
證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共線，
又∵它們有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．
題點(diǎn)二：利用向量的共線確定參數(shù)
2．已知a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，當(dāng)8a＋kb與ka＋2b共線時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．
解：∵8a＋kb與ka＋2b共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a與b不共線，∴8－λk＝0，k－2λ＝0，
解得λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.
題點(diǎn)三：幾何圖形形狀的判定
3.如圖所示，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為15，＝13＋25，＝15＋25AC.
求證：四邊形APQB為梯形．
證明：因?yàn)椋剑剑?3－25＋＋15＋25＝1315，所以∥.
又||＝15，所以||＝13，故||≠|(zhì)|，于是四邊形APQB為梯形．
用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合．例如，若向量＝λ，則，共線，又與有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．
層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝()
A．57bB．－57b
C．75bD．－75b
解析：選Bb與a反向，故a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，則5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a＝57b.
2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，則2a－3b＋c＝()
A．5eB．－5e
C．23eD．－23e
解析：選C2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，則()
A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B，D三點(diǎn)共線
C．A，C，D三點(diǎn)共線D．B，C，D三點(diǎn)共線
解析：選B＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，
又∵與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．
4．在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且＝23＋13，又＝t，則t的值為()
A．13B．23
C．12D．53
解析：選A由題意可得＝－＝23＋13－＝13(－)＝13，又＝t，∴t＝13.
5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)F，若＝a，＝b，則＝()
A．13a＋bB．12a＋b
C．a(chǎn)＋13bD．a(chǎn)＋12b
解析：選A由已知條件可知BE＝3DE，∴DF＝13AB，∴＝＋＝＋13＝13a＋b.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝______.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．下列向量中a，b共線的有________(填序號(hào))．
�、賏＝2e，b＝－2e；
�、赼＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；
�、躠＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－25e2＝4e1－110e2＝4b；④中，當(dāng)e1，e2不共線時(shí)，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
8．已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實(shí)數(shù)m的值為________．
解析：因?yàn)橄蛄縨a－3b與a＋(2－m)b共線且向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因?yàn)閍與b不共線，所以m＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
9．計(jì)算：
(1)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)；
(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n為實(shí)數(shù))．
解：(1)原式＝25－23＋415a＋－25－43＋2615b＝0.
(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
�。�2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb
＝ma－nb.
10．已知e1，e2是兩個(gè)非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值．
解：∵a與b是共線向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴λk＝2，λ＝－1，
∴k＝－2，λ＝－1，
∴k＝－2.
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()
A．a(chǎn)與λa的方向相同
B．a(chǎn)與－λa的方向相反
C．a(chǎn)與λ2a的方向相同
D．|λa|＝λ|a|
解析：選C只有當(dāng)λ>0時(shí)，a與λa的方向相同，a與－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因?yàn)棣?>0，所以a與λ2a的方向相同．
2．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為邊BC的中點(diǎn)，且2＋＋＝0，則()
A．＝B．＝2
C．＝3D．2＝
解析：選A∵在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，從而＝.
3．已知向量a，b不共線，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)λ1，λ2一定成立的關(guān)系式為()
A．λ1＝λ2＝1B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1D．λ1＋λ2＝1
解析：選C∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴＝k(k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共線，
∴λ1＝k，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1.
4．已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)△ABC，若＋＋＝，則()
A．點(diǎn)P在△ABC外部B．點(diǎn)P在線段AB上
C．點(diǎn)P在線段BC上D．點(diǎn)P在線段AC上
解析：選D∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，
∴2＝，∴點(diǎn)P在線段AC上．
5．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k＝______.
解析：∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴k＝8λ，2＝λk，解得λ＝12，k＝4或λ＝－12，k＝－4.
∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，
∴λ＝－12，k＝－4.
答案：－4
6.如圖所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M為BC的中點(diǎn)，則＝________(用a，b)表示．
解析：＝＋＝－＝12－14
＝12b－14(a＋b)＝14b－14a＝14(b－a)．
答案：14(b－a)
7．已知：在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求證：四邊形ABCD為梯形．
證明：如圖所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
�。剑�8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴與共線，且||＝2||.
又∵這兩個(gè)向量所在的直線不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四邊形ABCD是以AD，BC為兩條底邊的梯形．
8.如圖，已知△OCB中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，D是將OB分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中點(diǎn)，則有＝12(＋)，
從而＝2－＝2a－b.
由D是將OB分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，得＝23，
從而＝－＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
(2)由于C，E，D三點(diǎn)共線，則＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－53b，
從而(2－λ)a－b＝μ2a－53b，
又a，b不共線，則2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.
