【#初中三年級# #初三上冊數(shù)學期末試卷及答案解析#:】這篇關于初三上冊數(shù)學期末試卷及答案解析的文章，是®無憂考網(wǎng)特地為大家整理的，希望對大家有所幫助！

　　一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的序號填在答題卡上）

　　1．拋物線y=（x﹣1）2﹣3的對稱軸是（）

　　A．y軸B．直線x=﹣1C．直線x=1D．直線x=﹣3

　　【考點】二次函數(shù)的性質．

　　【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=（x﹣h）2+k，對稱軸為直線x=h，得出即可．

　　【解答】解：拋物線y=（x﹣1）2﹣3的對稱軸是直線x=1．

　　故選：C．

　　【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，解答此題時要注意拋物線的對稱軸是直線，這是此題易忽略的地方．

　　2．某校在體育健康測試中，有8名男生“引體向上”的成績（單位：次）分別是：14，12，10，8，9，16，12，7，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

　　A．10，12B．12，11C．11，12D．12，12

　　【考點】眾數(shù)；中位數(shù)．

　　【專題】計算題．

　　【分析】先把原數(shù)據(jù)按由小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解．

　　【解答】解：原數(shù)據(jù)按由小到大排列為：7，8，9，10，12，12，14，16，

　　所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)==11，眾數(shù)為12．

　　故選C．

　　【點評】本題考查了眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．也考查了中位數(shù)的定義．

　　3．在一個不透明的盒子里有2個紅球和n個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機摸出一個，摸到紅球的概率是，則n的值為（）

　　A．3B．5C．8D．10

　　【考點】概率公式．

　　【分析】根據(jù)紅球的概率結合概率公式列出關于n的方程，求出n的值即可．

　　【解答】解：∵摸到紅球的概率為，

　　∴P（摸到黃球）=1﹣=，

　　∴=，

　　解得n=8．

　　故選：C．

　　【點評】本題考查概率的求法與運用，根據(jù)概率公式求解即可：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．

　　4．對于二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）

　　A．開口向下B．對稱軸是x=﹣1

　　C．頂點坐標是（1，2）D．與x軸有兩個交點

　　【考點】二次函數(shù)的性質．

　　【專題】常規(guī)題型．

　　【分析】根據(jù)拋物線的性質由a=1得到圖象開口向上，根據(jù)頂點式得到頂點坐標為（1，2），對稱軸為直線x=1，從而可判斷拋物線與x軸沒有公共點．

　　【解答】解：二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象開口向上，頂點坐標為（1，2），對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸沒有公共點．

　　故選：C．

　　【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點式為y=a（x﹣）2+，的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x=﹣b2a，當a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下．

　　5．如圖，△ABD的三個頂點在⊙O上，AB是直徑，點C在⊙O上，且∠ABD=52°，則∠BCD等于（）

　　A．32°B．38°C．52°D．66°

　　【考點】圓周角定理．

　　【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可求得∠ADB的度數(shù)，繼而求得∠A的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案．

　　【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，

　　∴∠ADB=90°，

　　∵∠ABD=52°，

　　∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；

　　∴∠BCD=∠A=38°．

　　故選：B．

　　【點評】此題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．

　　6．如圖，用一個半徑為30cm，面積為300πcm2的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓錐的底面半徑r為（）

　　A．10cmB．5cmC．20cmD．5πcm

　　【考點】圓錐的計算．

　　【專題】計算題．

　　【分析】根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程即可．

　　【解答】解：根據(jù)題意得•2π•r•30=300π，

　　解得r=10（cm）．

　　故選A．

　　【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．

　　7．河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數(shù)的關系式為y=﹣x2，當水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時，這時水面寬度AB為（）

　　A．﹣20mB．10mC．20mD．﹣10m

　　【考點】二次函數(shù)的應用．

　　【分析】根據(jù)題意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．

　　【解答】解：根據(jù)題意B的縱坐標為﹣4，

　　把y=﹣4代入y=﹣x2，

　　得x=±10，

　　∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），

　　∴AB=20m．

　　即水面寬度AB為20m．

　　故選C．

　　【點評】本題考查了點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．

　　8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足下表：

　　x…﹣3﹣2﹣101…

　　y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…

　　則該函數(shù)圖象的頂點坐標為（）

　　A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）

　　【考點】二次函數(shù)的性質．

　　【專題】壓軸題．

　　【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性確定出二次函數(shù)的對稱軸，然后解答即可．

　　【解答】解：∵x=﹣3和﹣1時的函數(shù)值都是﹣3相等，

　　∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=﹣2，

　　∴頂點坐標為（﹣2，﹣2）．

　　故選：B．

　　【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格數(shù)據(jù)確定出對稱軸是解題的關鍵．

　　二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共，30分.不需寫出解答過程，請把正確答案直接填在答題卡相應的位置上）

　　9．“植樹節(jié)”時，20xx屆九年級一班6個小組的植樹棵數(shù)分別是：5，7，3，x，6，4．已知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5．

　　【考點】算術平均數(shù)；眾數(shù)．

　　【分析】首先根據(jù)眾數(shù)為5得出x=5，然后根據(jù)平均數(shù)的概念求解．

　　【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，

　　∴x=5，

　　則平均數(shù)為：=5．

　　故答案為：5．

　　【點評】本題考查了眾數(shù)和平均數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．

　　10．已知關于x的方程x2﹣2x+3k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是k．

　　【考點】根的判別式．

　　【分析】關于x的方程x2﹣2x+3k=0有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式△=b2﹣4ac＞0．即可得到關于k的不等式，從而求得k的范圍

　　【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3k，

　　∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3k=4﹣12k＞0，

　　解得：k＜．

　　故答案為：k＜．

　　【點評】此題考查了根的判別式，用到的知識點是一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0⇔方程沒有實數(shù)根．

　　11．已知圓錐的底面圓的周長為8，母線長為5，則圓錐的側面積是20．

　　【考點】圓錐的計算．

　　【分析】根據(jù)扇形面積公式進行計算即可．

　　【解答】解：∵圓錐的底面圓的周長為8，母線長為5，

　　∴圓錐的側面積為：×8×5=20．

　　故答案為：20．

　　【點評】本題考查的是圓錐側面面積的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．

　　12．如圖，轉盤中8個扇形的面積都相等，任意轉動轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針指向大于6的數(shù)的概率為．

　　【考點】概率公式．

　　【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．

　　【解答】解：∵共8個數(shù)，大于6的有2個，

　　∴P（大于6）==，

　　故答案為：．

　　【點評】本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．

　　13．一元二次方程x（x+3）=x的解是x1=0，x2=﹣2．

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法．

　　【專題】計算題．

　　【分析】方程移項后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．

　　【解答】解：方程變形得：x（x+3）﹣x=0，

　　分解因式得：x（x+3﹣1）=0，

　　可得x=0或x+2=0，

　　解得：x1=0，x2=﹣2．

　　故答案為：x1=0，x2=﹣2．

　　【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．

　　14．某校要從四名學生中選拔一名參加“漢字聽寫”人賽，選擇賽中每名學生的平均學生的平均成績及其方差s2如表所示，如果要選一名成績高且發(fā)揮穩(wěn)定的學生參賽，則應選擇的學生是乙．

　　甲乙丙丁

　　8998

　　s2111.21.3

　　【考點】方差．

　　【分析】首先比較出四名學生的平均成績的高低，判斷出乙、丙兩名學生的平均成績高于甲、丁兩名學生；然后比較出乙、丙的方差，判斷出發(fā)揮穩(wěn)定的是哪名學生，即可確定應選擇哪名學生去參賽．

　　【解答】解：∵9＞8，

　　∴乙、丙兩名學生的平均成績高于甲、丁兩名學生，

　　又∵1＜1.2，

　　∴乙的方差小于丙的方差，

　　∴乙發(fā)揮穩(wěn)定，

　　∴要選一名成績高且發(fā)揮穩(wěn)定的學生參賽，則應選擇的學生是乙．

　　故答案為：乙．

　　【點評】此題主要考查了方差的含義和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．

　　15．把二次函數(shù)y=x2﹣12x化為形如y=a（x﹣h）2+k的形式y(tǒng)=（x﹣6）2﹣36．

　　【考點】二次函數(shù)的三種形式．

　　【分析】由于二次項系數(shù)為1，所以直接加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．

　　【解答】解：y=x2﹣12x=（x2﹣12x+36）﹣36=（x﹣6）2﹣36，即y=（x﹣6）2﹣36．

　　故答案為y=（x﹣6）2﹣36．

　　【點評】本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式：

　　（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；

　　（2）頂點式：y=a（x﹣h）2+k；

　　（3）交點式（與x軸）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

　　16．如圖，小正方形的邊長均為1，點B、O都在格點上，以O為圓心，OB為半徑畫弧，如圖所示，則劣弧BC的長是π．

　　【考點】弧長的計算．

　　【分析】根據(jù)網(wǎng)格得出BO的長，再利用弧長公式計算得出即可．

　　【解答】解：如圖所示：∠BOC=45°，BO=2，

　　∴劣弧BC的長是：=π，

　　故答案為π．

　　【點評】本題考查了弧長公式的應用，熟練記憶弧長公式是解題關鍵．

　　17．如圖，對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點，則它的對稱軸為直線x=1．

　　【考點】拋物線與x軸的交點．

　　【專題】計算題．

　　【分析】利用拋物線的對稱性求解．

　　【解答】解：∵拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點，

　　∴點（1，0）和點（3，0）為拋物線上的對稱點，

　　∴點（1，0）與點（3，0）關于直線x=1對稱，

　　∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

　　故答案為x=1．

　　【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：從解析式y(tǒng)=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．

　　18．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點P是優(yōu)弧上一點，則∠APB的度數(shù)為60°．

　　【考點】翻折變換（折疊問題）；圓周角定理．

　　【分析】作半徑OC⊥AB于D，連結OA、OB，如圖，根據(jù)折疊的性質得OD=CD，則OD=OA，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到∠OAD=30°，接著根據(jù)三角形內角和定理可計算出∠AOB=120°，然后根據(jù)圓周角定理計算∠APB的度數(shù)．

　　【解答】解：如圖作半徑OC⊥AB于D，連結OA、OB．

　　∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，

　　∴OD=CD．

　　∴OD=OC=OA．

　　∴∠OAD=30°，

　　∵OA=OB，

　　∴∠ABO=30°．

　　∴∠AOB=120°．

　　∴∠APB=∠AOB=60°．

　　故答案為：60°．

　　【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和折疊的性質，求得∠OAD=30°是解題的關鍵．

　　三、（本大題共9小題，共計96分.請在答題紙指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的演算步驟、證明過程或文字說明）

　　19．解方程：

　�。�1）x2+4x﹣1=0

　　（2）（x+2）2﹣25=0．

　　【考點】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接開平方法．

　　【分析】（1）把常數(shù)項﹣1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)4的一半的平方；

　�。�2）把﹣25移項后，直接開平方即可．

　　【解答】解：（1）移項得x2+4x=1，

　　配方得x2+4x+4=1+4，

　　即（x+2）2=5，

　　開方得x+2=±，

　　∴x1=﹣2，x2=﹣﹣2；

　�。�2）移項得（x+2）2=25，

　　開方得x+2=±5，

　　∴x1=3，x2=﹣7．

　　【點評】本題考查了解一元二次方程，配方法的一般步驟：

　�。�1）把常數(shù)項移到等號的右邊；

　�。�2）把二次項的系數(shù)化為1；

　�。�3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．

　　選擇用配方法解一元二次方程時，使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．

　　20．一個不透明的口袋中裝有2個紅球（記為紅球1、紅球2），1個白球、1個黑球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻．

　�。�1）從中任意摸出1個球，恰好摸到紅球的概率是

　�。�2）先從中任意摸出一個球，再從余下的3個球中任意摸出1個球，請用列舉法（畫樹狀圖或列表），求兩次都摸到紅球的概率．

　　【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．

　　【專題】計算題．

　　【分析】（1）根據(jù)4個小球中紅球的個數(shù)，即可確定出從中任意摸出1個球，恰好摸到紅球的概率；

　�。�2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次都摸到紅球的情況數(shù)，即可求出所求的概率．

　　【解答】解：（1）4個小球中有2個紅球，

　　則任意摸出1個球，恰好摸到紅球的概率是；

　　故答案為：；

　�。�2）列表如下：

　　紅紅白黑

　　紅﹣﹣﹣（紅，紅）（白，紅）（黑，紅）

　　紅（紅，紅）﹣﹣﹣（白，紅）（黑，紅）

　　白（紅，白）（紅，白）﹣﹣﹣（黑，白）

　　黑（紅，黑）（紅，黑）（白，黑）﹣﹣﹣

　　所有等可能的情況有12種，其中兩次都摸到紅球有2種可能，

　　則P（兩次摸到紅球）==．

　　【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

　　21．如圖線段AB的端點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，現(xiàn)將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到線段AC．

　�。�1）請你用尺規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點B經(jīng)過的路徑；

　�。�2）若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（1，3），點B的坐標為（﹣2，﹣1），則點C的坐標為5，0；

　　（3）線段AB在旋轉到線段AC的過程中，線段AB掃過的區(qū)域的面積為；

　�。�4）若有一張與（3）中所說的區(qū)域形狀相同的紙片，將它圍成一個幾何體的側面，則該幾何體底面圓的半徑長為．

　　【考點】扇形面積的計算；弧長的計算；作圖-旋轉變換．

　　【專題】幾何圖形問題；網(wǎng)格型．

　　【分析】（1）線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到線段AC．線段AC及點B經(jīng)過的路徑是一段弧，根據(jù)弧長公式計算路徑；

　�。�2）根據(jù)點A的坐標為（1，3），點B的坐標為（﹣2，﹣1），可建立直角坐標系，從直角坐標系中讀出點C的坐標為（5，0）；

　　（3）線段AB在旋轉到線段AC的過程中，線段AB掃過的區(qū)域的面積為一個扇形，根據(jù)扇形公式計算；

　　（4）將它圍成一個幾何體即圓錐的側面，則該幾何體底面圓的周長就等于弧長，利用此等量關鍵可計算出半徑．

　　【解答】解：（1）如圖，為點B經(jīng)過的路徑；

　�。�2）（5，0）；

　　（3）線段AB在旋轉到線段AC的過程中，線段AB掃過的區(qū)域的面積為一個扇形，

　　根據(jù)扇形公式計算

　　=；

　�。�4）將它圍成一個幾何體即圓錐的側面，則該幾何體底面圓的周長就等于弧長，

　　=2πr

　　解得r=．

　　【點評】本題綜合考查了坐標系，旋轉圖形，及圓的弧長公式，扇形的面積公式等，所以學生學過的知識一定要系統(tǒng)起來．

　　22．為建設美麗家園，某企業(yè)逐年增加對環(huán)境保護的經(jīng)費投入，2013年投入了400萬元，到2015年投入了576萬元．

　�。�1）求2013年至2015年該單位環(huán)保經(jīng)費投入的年平均增長率；

　�。�2）該單位預計投入環(huán)保經(jīng)費不低于700萬元，若希望繼續(xù)保持前兩年的年平均增長率，問該目標能否實現(xiàn)？請通過計算說明理由．

　　【考點】一元二次方程的應用．

　　【專題】增長率問題．

　　【分析】（1）設2013年至2015年該單位環(huán)保經(jīng)費投入的年平均增長率為x，由題意得等量關系：2013年投入×（1+增長率）2=2015年投入，根據(jù)等量關系列出方程，再解即可；

　　（2）利用2015年投入了576萬元×1+增長率，算出結果與700萬元進行比較即可．

　　【解答】解：（1）設2013年至2015年該單位環(huán)保經(jīng)費投入的年平均增長率為x，由題意得：

　　400（1+x）2=576，

　　解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合題意，舍去），

　　答：2013年至2015年該單位環(huán)保經(jīng)費投入的年平均增長率為20%；

　�。�2）576×（1+20%）=691.2＜700，

　　答：若希望繼續(xù)保持前兩年的年平均增長率，該目標不能實現(xiàn)．

　　【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，設出未知數(shù)，列出方程．

　　23．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠DAC．求證：MN是⊙O的切線．

　　【考點】切線的判定．

　　【專題】證明題．

　　【分析】連接OC，推出AD∥OC，得出OC⊥MN，根據(jù)切線的判定定理即可得出結論．

　　【解答】證明：連接OC，如圖所示：

　　∵OA=OC，

　　∴∠BAC=∠OCA，

　　∵∠BAC=∠DAC，

　　∴∠DAC=∠OCA，

　　∴OC∥AD，

　　∵AD⊥MN，

　　∴OC⊥MN，

　　∵OC為半徑，

　　∴MN是⊙O的切線．

　　【點評】本題考查了切線的判定定理，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定與性質；熟練掌握切線的判定定理，證明OC∥AD是解決問題的關鍵．

　　24．某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每天可賣出190件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每天少賣10件，設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每天的銷售利潤為y元．

　　（1）求y關于x的關系式；

　　（2）每件商品的售價定為多少元時，每天的利潤恰為1980元？

　�。�3）每件商品的售價定為多少元時，每天可獲得利潤？利潤是多少元？

　　【考點】二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用．

　　【分析】（1）利用銷量乘以每件利潤=總利潤得出關系式即可；

　　（2）利用（1）中所求關系式，進而使y=1980進而得出即可；

　�。�3）利用配方法求出二次函數(shù)最值，結合x的取值范圍得出答案．

　　【解答】解：（1）設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每天的銷售利潤為y元，

　　則y=（60﹣50+x）=﹣10x2+90x+1900；

　　（2）當y=1980，則1980=﹣10x2+90x+1900，

　　解得：x1=1，x2=8．

　　故每件商品的售價定為61元或68元時，每天的利潤恰為1980元；

　　（3）y=﹣10x2+90x+1900=﹣10（x﹣）2+2102.5，

　　故當x=5或4時，y=2100（元），

　　即每件商品的售價定為64元或65元時，每天可獲得利潤，利潤是2100元．

　　【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及一元二次方程的解法，得出y與x的函數(shù)關系式是解題關鍵．

　　25．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸相交于點C（0，3），點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象過點B、D．

　　（1）求D點坐標；

　�。�2）求二次函數(shù)的解析式；

　�。�3）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的x的取值范圍．

　　【考點】拋物線與x軸的交點；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與不等式（組）．

　　【分析】（1）利用點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，可得出D點的坐標；

　　（2）設該拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），然后將點C的坐標代入來求a的值；

　�。�3）在坐標系中利用x取相同值，比較出對應值的大小，從而確定，兩函數(shù)的大小關系．

　　【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸是x=﹣1，而C、D關于直線x=﹣1對稱，

　　∴D（﹣2，3）；

　　（2）設該拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），

　　把C（0，3）代入，得

　　3=a（0+3）（0﹣1），

　　解得a=﹣1，

　　所以該拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3，

　　即y=﹣x2﹣2x+3；

　　（3）根據(jù)圖象知，一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的x的取值范圍是：﹣2＜x＜1．

　　【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的對稱性，以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和利用自變量的取值范圍確定函數(shù)值大小關系，題目難度不大，非常典型．

　　26．在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

　�。�1）如圖1，當PQ∥AB時，求PQ的長度；

　　（2）如圖2，當點P在BC上移動時，求PQ長的值．

　　【考點】圓周角定理；勾股定理；解直角三角形．

　　【專題】計算題．

　　【分析】（1）連結OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計算出PQ=；

　�。�2）連結OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ=，則當OP的長最小時，PQ的長，根據(jù)垂線段最短得到OP⊥BC，則OP=OB=，所以PQ長的值=．

　　【解答】解：（1）連結OQ，如圖1，

　　∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

　　∴OP⊥AB，

　　在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

　　∴OP=3tan30°=，

　　在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

　　∴PQ==；

　�。�2）連結OQ，如圖2，

　　在Rt△OPQ中，PQ==，

　　當OP的長最小時，PQ的長，

　　此時OP⊥BC，則OP=OB=，

　　∴PQ長的值為=．

　　【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．

　　27．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結AM、BM．

　�。�1）求拋物線的函數(shù)關系式；

　　（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；

　　（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．

　　【考點】二次函數(shù)綜合題．

　　【專題】壓軸題．

　　【分析】（1）由條件可分別求得A、B的坐標，設出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

　�。�2）結合（1）中A、B、C的坐標，根據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM為直角三角形；

　　（3）由條件可寫出平移后的拋物線的解析式，聯(lián)立y=x，可得到關于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式可求得m的范圍．

　　【解答】解：（1）∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，

　　∴A（﹣1，0），

　　又B點橫坐標為2，代入y=x+1可求得y=3，

　　∴B（2，3），

　　∵拋物線頂點在y軸上，

　　∴可設拋物線解析式為y=ax2+c，

　　把A、B兩點坐標代入可得，解得，

　　∴拋物線解析式為y=x2﹣1；

　�。�2）△ABM為直角三角形．理由如：

　　由（1）拋物線解析式為y=x2﹣1可知M點坐標為（0，﹣1），

　　∴AM=，AB===3，BM==2，

　　∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，

　　∴△ABM為直角三角形；

　　（3）當拋物線y=x2﹣1平移后頂點坐標為（m，2m）時，其解析式為y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，

　　聯(lián)立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

　　∵平移后的拋物線總有不動點，

　　∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0總有實數(shù)根，

　　∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，

　　解得m≤，

　　即當m≤時，平移后的拋物線總有不動點．

　　【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知識點．在（1）中確定出A、B兩點的坐標是解題的關鍵，在（2）中分別求得AB、AM、BM的長是解題的關鍵，在（3）中確定出拋物線有不動點的條件是解題的關鍵．本題考查知識點較為基礎，難度適中．