一、知識點(diǎn)：
1、數(shù)列：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做項(xiàng)，第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。數(shù)列中共有的項(xiàng)的個數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。
2、等差數(shù)列與公差：一個數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與與它前一項(xiàng)的差都相等，這樣的數(shù)列的叫做等差數(shù)列，其中相鄰兩項(xiàng)的差叫做公差。
3、常用公式
等差數(shù)列的總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)） 項(xiàng)數(shù) 2
項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） 公差+1
末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 （項(xiàng)數(shù)-1）
首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差 （項(xiàng)數(shù)-1）
公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） （項(xiàng)數(shù)-1）
等差數(shù)列（奇數(shù)個數(shù)）的總和=中間項(xiàng) 項(xiàng)數(shù)
二、典例剖析：
例（1） 在數(shù)列3、6、9……，201中，共有多少數(shù)？如果繼續(xù)寫下去，第201個數(shù)是多少？
分析： （1）因?yàn)樵谶@個等差數(shù)列中，首項(xiàng)=3，末項(xiàng)=201，公差=3，所以根據(jù)公式：
項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） 公差+1,便可求出。
（2）根據(jù)公式：末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 （項(xiàng)數(shù)-1）
解： 項(xiàng)數(shù)=（201-3） 3+1=67
末項(xiàng)=3+3 （201-1）=603
答：共有67個數(shù)，第201個數(shù)是603
練一練：
在等差數(shù)列中4、10、16、22、……中，第48項(xiàng)是多少？508是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)？
答案: 第48項(xiàng)是286，508是第85項(xiàng)
例（2 ）全部三位數(shù)的和是多少？
分析：：所有的三位數(shù)就是從100~999共900個數(shù)，觀察100、101、102、……、998、999這 一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一個公差為1的等差數(shù)列。要求和可以利用等差數(shù)列求和公式來解答。
解： （100+999） 900 2
=1099 900 2
=494550
答：全部三位數(shù)的和是494550。
練一練：
求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。
答案: 1000
例（3）求自然數(shù)中被10除余1的所有兩位數(shù)的和。
分析一：在兩位數(shù)中，被10除余1最小的是11，的是91。從題意可知，本題是求等差數(shù)列11、21、31、……、91的和。它的項(xiàng)數(shù)是9，我們可以根據(jù)求和公式來計(jì)算。
解一： 11+21+31+……+91
=（11+91） 9 2
=459
分析二：根據(jù)求和公式得出等差數(shù)列11、21、31、……91的和是459，我們可以求得這9個數(shù)的平均數(shù)是459 9=51，而51恰好是這個等差數(shù)列的第五項(xiàng)，即中間的一項(xiàng)(稱作中項(xiàng))，由此我們又可得到S=中項(xiàng) n，但只能是項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時，等差數(shù)列有中項(xiàng)，才能用中項(xiàng)公式計(jì)算。
解二：11+21+31+……+91
=51 9
=459
答：和是459。
練一練：
求不超過500的所有被11整除的自然數(shù)的和。
答案: 11385
例（4） 求下列方陣中所有各數(shù)的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。
分析一：這個方陣的每一橫行（或豎行）都各是一個等差數(shù)列，可先分別求出每一橫行（或豎行）數(shù)列之和，再求出這個方陣的和。
解一： 每一橫行數(shù)列之和：
第一行：（1+50） 50 2=1275
第二行：（2+51） 50 2=1325
第三行：（3+51） 50 2=1375
……
第四十九行：（49+98） 50 2=3675
第五十行：（50+99） 50 2=3725
方陣所有數(shù)之和：
1275+1325+1375+……+3675+3725
=（1275+3725） 50 2
=125000
分析二：觀察每一橫行可以看出，從第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先將第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的數(shù)，這樣也能求得這個方陣所有數(shù)的和。
解二：（1+50） 50 2 50=63750
50 （1+2+3+……+49）
=50 【（1+49） 49 2】
=61250
63750+61250=125000
答：這個方陣的和是125000
練一練：
求下列方陣中100個數(shù)的和。
0、1、2、3、……8、9；
1、2、3、4、……9、10；
2、3、4、5、……10、11；
……
9、10、11、12、……17、18。
答案: 900
例（5）班級男生進(jìn)行扳手腕比賽，每個參賽男生都要和其他參賽選手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生參加了這項(xiàng)比賽?
分析：設(shè)共有幾個選手參加比賽，分別是A 、A2、A3 A 、……An 。從A 開始按順序分析比賽場次：
A 必須和 A2 、A3、A4、……，An逐一比賽1場，共計(jì)（n-1）場；
A2已和A 賽過，他只需要和A 3、A4 、A5 、……、An各賽1場，共計(jì)（n-2）場
A 3已和A A2賽過、他只需要和A4、 A5、 A6、……、An 、各賽1場，共計(jì)（n-3）場。
以此類推，最后An-1只能和An賽1場
解： Sn=（n-1）+（n-2）+……+2+1
= （1+n-1） （n-1）
= n (n-1)（場）
根據(jù)題意，Sn=105(場)，則n （n-1）=210，因?yàn)閚是正整數(shù)，通過試算法，可知15 14=210.
則n=15,即共有15個男生參加了比賽。
答：有15個男生參加了比賽。
練一練：
從1到50這50個連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？
答案： 625種
例（6）若干人圍成16圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)圈人數(shù)依次少6人，如果共有912人，問最外圈有多少人？最內(nèi)圈有多少人？
分析：從已知條件912人圍成16圈，一圈套一圈，從外到內(nèi)各圈依次減少6人，也就是告訴我們這個等差數(shù)列的和是912，項(xiàng)數(shù)是16，公差是6。題目要求的是等差數(shù)列末項(xiàng) a - a =d (n-1)=6 (16-1)=90(人)
解： a +a =S 2 n=912 2 16=114（人）
外圈人數(shù)=（90+114） 2=102（人）
內(nèi)圈人數(shù)=（114-90） 2=12（人）
答： 最外圈有102人，最內(nèi)圈有12人。
練一練：
若干人圍成8圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少4人，如果共有304人，最外圈有幾人？
答案： 52人
模擬測試（ 4 ）
一、填空題 （每小題5分）
1、有一串?dāng)?shù)，已知第一個數(shù)是6，而后面的每一個數(shù)都比它前面的數(shù)大4，這串?dāng)?shù)中第2003個數(shù)是 。
2、等差數(shù)列0、3、6、9、12、……、45是這個數(shù)列的第 項(xiàng)。
從2開始的連續(xù)100個偶數(shù)的和是 。
3、一個劇院共有25排座位，從第一排起，以后每排都比前一排多2個座位，第25排有70個座位，這個劇院共有 個座位。
4、所有
5、除以4余1的三位數(shù)的和是 。
6、時鐘在每個整點(diǎn)敲該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘敲一下，一晝夜這個時鐘一共敲 下。
7、一個五層書架共放了600本書，已知下面一層都比上面一層多10本書。最上面一層放
本書，最下面一層放 本書。
8、從200到500之間能被7整除的各數(shù)之和是 。
9、在1949、1950、1951、……1987、1988、這40個自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多 。
10、有一列數(shù)：1、2002、2001、1、2000、1999、1、……、從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減去小數(shù)的差，從第一個數(shù)開始到第2002個數(shù)為止這2002個數(shù)的和是 。
二、簡答題 (每小題10分)
1、有10只金子，54個乒乓球，能不能把54個乒乓球放進(jìn)盒子中去，使各盒子的乒乓球數(shù)不相等？
2、小明家住在一條胡同里，胡同里的門牌號從1號開始摸著排下去。小明將全胡同的門牌號數(shù)進(jìn)行口算求和，結(jié)果誤把1看成10，得到錯誤的結(jié)果為114，那么實(shí)際上全胡同有多少家？
3、有一堆粗細(xì)均勻的圓木，堆成如下圖的形狀，最上面一層有7根園木，每面下層增加1根，最下面一層有95根，問：這堆圓木一共有多少根？
4、有一個六邊形點(diǎn)陣，如下圖，它的中心是一個點(diǎn)，算做第一層，第二層每邊有兩個點(diǎn)，第三層每邊有三個點(diǎn)……這個六邊形點(diǎn)陣共100層，問，這個點(diǎn)陣共有多少個點(diǎn)？
5、X+Y+Z=1993有多少組正整數(shù)解？
模擬測試（ 4 ） 解答
一、填空題
1、8014
6+4 （2003-1）
=6+4 2002
=8014
2、16
（45-0） 3+1
=45 3+1
=16
3、10100
末項(xiàng)=2+（100+1） 2=200
和=（2+200） 100 2=10100
4. 1150
a =70-(25-1) 2=22(個)
總座位數(shù)：（22+70） 25 2=1150（個）
5、123525
所有除以4余1的三位數(shù)為：101、105、109、……997。
項(xiàng)數(shù)：（997-101） 4+1=225
和：（101+997） 225 2=123525
6、180
（1+12） 12+1 24
=13 12+24
=180（下）
7、100、140
中間一層本數(shù)：600 5=120（本）
最上面一層：12-10 2=100（本）
最下面一層：120+1 2=140（本）
8、15050
構(gòu)成等差數(shù)列為：203、210、……、497。
項(xiàng)數(shù)=（497-203） 7+1=43
數(shù)列和=（203+497） 43 2=15050
9、20
（1950+1988） 20 2-（1949+1987） 20 2
=3938 20 2-3936 20 2
=39380-39360
=20
10、1782225
在原數(shù)列中，以數(shù)1為標(biāo)志，把三個數(shù)看成一組，2002 3=667……1，其中2001個數(shù)分為667組，有667個1，因?yàn)橛嘞碌囊粋�數(shù)恰為1，則2002個數(shù)中有668個1，其余的數(shù)是2002則669有1334個數(shù)。
668 1+（2002+669） 1334 2
=668+1781557
=1782225
二、簡答題
1、解：
答：題中要求辦不到。
2、解：誤把1看成10，錯誤結(jié)果比正確結(jié)果多10-1=9，那么正確結(jié)果為114-9=105，即全胡同門牌號組成的數(shù)列求和為105
設(shè)全胡同有n家，此數(shù)列為1、2、3……、n。
數(shù)列求和：（1+n） n 2=105
（1+n） n=210
將210分解：210=2 3 5 7
=14 15
則n為14
答：全胡同實(shí)際有14家。
3、解： 7+95=102（根）
95-7+1=89（層）
102 89 2=4539（根）
答：這堆圓木一共有4539根。
4、解：第100層有點(diǎn)：6+（99-1） 6
=6+98 6
=6 99
=594（個）
點(diǎn)陣只有點(diǎn)： 1+（6+594） 99 2
=1+600 99 2
=29701（個）
答：這個點(diǎn)陣共有點(diǎn)29701個。
5、解： 當(dāng)X=1991時，則Y+Z=2， Y=Z=1 有1組
當(dāng)X=1990時，則Y+Z=3， 或 有2組
當(dāng)X=1989時，則Y+Z=4. 或 或 有3組
……
當(dāng)X=2時，則Y+Z=1991 有1990組
當(dāng)X=1時，則Y+Z=1992 有1991組
X不能等于1992或1993
原方程中不同的整數(shù)解，組數(shù)為：
1+2+3+4+……+1991
=1991 1992 2
=1983036
答：共有1983036組正整數(shù)解。
