德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

　�。�1+100）×100÷2＝5050。

　　小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。

　　若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：

　�。�1）1，2，3，4，5，…，100；

　�。�2）1，3，5，7，9，…，99；

　�。�3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：

　　和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。

　　例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？

　　分析與解：這串加數(shù)1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得

　　原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

　　注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。

　　例2 11＋12＋13＋…＋31＝？

　　分析與解：這串加數(shù)11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11＋1＝21（項(xiàng)）。

　　原式=（11+31）×21÷2=441。

　　在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到

　　項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，

　　末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。

　　例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

　　分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，

　　項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，

　　原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

　　例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。

　　解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，

　　和=（25＋142）×40÷2＝3340。

　　利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。

　　例5 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？

　　分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

　　2×1＋2×2＋…＋2×10

　�。�2×（1＋2＋…＋10）

　　＝2×55＝110（只）。

　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

　　綜合列式為：

　�。�3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3

　�。�2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

　　練習(xí)題

　　1.計(jì)算下列各題：

　�。�1）2＋4＋6＋…＋200；

　�。�2）17＋19＋21＋…＋39；

　�。�3）5＋8＋11＋14＋…＋50；

　�。�4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

　　2.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。

　　3.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。

　　4.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？

　　5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。

　　6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？