【第一篇】
對(duì)于比較復(fù)雜的問題，可以先觀察其簡單情況，歸納出其中帶規(guī)律性的東西，然后再來解決較復(fù)雜的問題。
習(xí)題1：10個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分?
解：設(shè)n個(gè)三角形最多將平面分成an個(gè)部分。
n=1時(shí)，a1=2;
n=2時(shí)，第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有2個(gè)交點(diǎn)，三條邊與第一個(gè)三角形最多有2×3=6(個(gè))交點(diǎn)。這6個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個(gè)部分分成2個(gè)部分，從而平面也增加了6個(gè)部分，即a2=2+2×3。
n=3時(shí)，第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有4×3=12(個(gè))交點(diǎn)，從而平面也增加了12個(gè)部分，即：
a3=2+2×3+4×3。
……
一般地，第n個(gè)三角形與前面(n-1)個(gè)三角形最多有2(n-1)×3個(gè)交點(diǎn)，從而平面也增加2(n-1)×3個(gè)部分，故
an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3
=2+[2+4+…+2(n-1)]×3
=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。
特別地，當(dāng)n=10時(shí)，a10=3×102+3×10+2=272，即10個(gè)三角形最多把平面分成272個(gè)部分。
【第二篇】
(一)選擇題
在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的項(xiàng)為 [ ]
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…(2n-1)(n∈N)時(shí),從"n=k→n=k+1"兩邊同乘以一個(gè)代數(shù)式,它是 [ ]
(二)填空題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+ 2+ 3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1左邊所得的項(xiàng)是______;從"k→k+1"需增添的項(xiàng)是______.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n∈N時(shí)1+2+22+23+…+25n-1是31的倍數(shù)時(shí),當(dāng)n=1時(shí)原式為______,從k→k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是______.
答案：
(一)選擇題 1.C 2.D
(二)填空題 1.1+2+3,(2k+2)+(2k+3);
2.1+2+22+23+24,25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4.
【第三篇】
解答題
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:自然數(shù)m,n對(duì)任何的3≤m≤n均有差數(shù)列.
3.求證:當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)7n+1能被8整除.自然數(shù)n,f(n)>n.
a3,a4,并推測出{an}的通項(xiàng)公式,用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
求a2,a3,a4,并推測an的表達(dá)式,用數(shù)學(xué)歸納法證明所得結(jié)論.
答案：
成立.時(shí),多了一個(gè)頂點(diǎn),該頂點(diǎn)與原k邊形中的(k-2)個(gè)頂點(diǎn)可連成(k-2)條對(duì)角線,而原來的一條邊也變成對(duì)角線,故(k+1)邊形比k邊形增多了(k-1)條對(duì)角線
說明 本題也可用排列組合的方法證明
4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2
即 (a1+a3-2a2)2=0 ∴a1+a3=2a2 ∴命題成立;
�、诩僭O(shè)n=k(k≥3)時(shí)命題成立,即對(duì)于任何
a1,a2,…,an成等差數(shù)列
則當(dāng)n=k+1時(shí),由歸納假設(shè)a1,a2,…,ak成等差數(shù)列,設(shè)公差為d
令 ak+1-ak=m
去分母化簡得 m2+d2-2dm=0
于是m=d 即ak+1-ak=d
∴a1,a2,a3,…,ak,ak+1成等差數(shù)列
故對(duì)任何n∈N命題成立.
3.(1)n=1時(shí),71+1=8能被8整除;
(2)假設(shè)n=k(k為正奇數(shù))時(shí)7k+1能被8整除(設(shè)7k+1=8M,M∈N)
則當(dāng)n=k+1時(shí)
7k+2+1=72·7k+72-72+1=72(7k+1)-48
=49×8m-8×6=8(49M-6)
∵49M-6∈N ∴命題成立.
4.(1)當(dāng)n=2時(shí),
(2)假設(shè)n=k(k≥2)不等式成立
因此 f(k+1)> f(k)+1> k+1.
(2)假設(shè)n=k時(shí),不等式成立
∴ n=k+1時(shí)不等式亦成立
由(1),(2)可知對(duì)一切n∈N不等式都成立.
證明(1)當(dāng)n=1時(shí),等式成立。
【第四篇】
1.滿足1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=3n2-3n+2的自然數(shù)等于 ( )
A.1;B.1或2;C.1,2,3;D.1,2,3,4;
2.在數(shù)列{an}中, an=1-…則ak+1= ( )
A.ak+;B.ak+ C.ak+.D.ak+.
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+整除"的第二步是 ( )
A.假使n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3正確; B假使n=2k-時(shí)正確,再推n=2k+1正確;
C. 假使n=k時(shí)正確,再推n=k+1正確;D假使n≤k(k≥1),再推n=k+2時(shí)正確(以上k∈Z)
答案：
1.C 用排除法,將4,3依次代入,所以選C.
2.D.
3.B 因?yàn)閚為正奇數(shù),據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立,本題即假設(shè)n=2k-1正確,再推第k+1個(gè)正奇數(shù)即n=2k+1正確.
【第五篇】
1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n-3)條時(shí),第一步驗(yàn)證n等于 ( )
A.1. B.2; C.3; D.0;
2.已知Sn=則S1=________S2=_______S3=______
S4=________猜想Sn=__________.
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+2+3+…+n2=則n=k+1時(shí)左端在n=k時(shí)的左端加上_________
答案：
1.C. 因?yàn)槭亲C明凸n邊形,首先可先構(gòu)成n邊形,故選才.
2. 分別將1,2,3,4代入觀察猜想
3.(k+1)2 n=k左端為1+2+3+…k2 n=k+1時(shí)左端為1+2+3+…k2+(k+1)2.
