【篇一】
容斥原理概念：
在計數(shù)時，必須注意無一重復，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。
容斥原理1
如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和=屬于A類元素個數(shù)+屬于B類元素個數(shù)—既是A類又是B類的元素個數(shù)。(A∪B=A+B-A∩B)
容斥原理2
如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和=A類元素個數(shù)+B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)—既是A類又是B類的元素個數(shù)—既是A類又是C類的元素個數(shù)—既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C)
經(jīng)典例題：
例1、某班共有30名男生，其中20人參加足球隊，12人參加藍球隊，10人參加排球隊.已知沒一個人同時參加3個隊，且每人至少參加一個隊，有6人既參加足球隊又參加藍球隊，有2人既參加藍球隊又參加排球隊，那么既參加足球隊又參加排球隊的有()人.
考點：重疊問題.
分析：如圖所示，設既參加是球隊又參加排球隊的人數(shù)為x，則依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可.
解答：解：如圖所示，設既參加是球隊又參加排球隊的人數(shù)為x，則依容斥原理，
有20+12+10-6-2-x=30，
解得x=4.
故答案為：4.
點評：此題考查學生依據(jù)容斥原理解答問題的能力.
例2、在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學生參加競賽,每個學生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學生人數(shù)是()
解答：根據(jù)"每個人至少答出三題中的一道題"可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。
分別設各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……②
由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知：a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后將④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：
當a2=6、5、4、3、2、1時，a3=2、6、10、14、18、22
又根據(jù)a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合條件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，總人數(shù)=8+6+2+7+2=25，檢驗所有條件均符。
故只解出第二題的學生人數(shù)a2=6人。
【篇二】
1、在1到500的全部自然數(shù)中，不是7的倍數(shù)，也不是9的倍數(shù)的數(shù)共有多少個?
2、六年級一班有45名同學，每人都參加暑假體育培訓班，其中足球班報25人，籃球班報20人，游泳班報30人，足球、籃球都報者有10人，足球、籃球都報者有12人。問三項都報的有多少人?
3、某校六年級二班有49人參加了數(shù)學、英語、語文學習小組，其中數(shù)學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人參加，老師告訴同學既參加數(shù)學又參加語文小組的有3人，既參加數(shù)學又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學小組的人數(shù)。
4、某班同學參加升學考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學20人，語文20人，英語20人，數(shù)學、英語兩科滿分者8人，數(shù)學、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒有得滿分者3人。問這個班多多少人?少多少人?
5、向50名同學調(diào)查春游去頤和園還是去動物園的態(tài)度，贊成去頤和園的人數(shù)是全體的35，其余不贊成;贊成去動物園的比贊成去頤和園的學生多3人，其余不贊成，另外對去兩處都不贊成的學生數(shù)比對去兩處都贊成的學生數(shù)的13多1人，同時去頤和園和去動物園都贊成和都不贊成的學生各有多少人?
6、分母是1001的簡真分數(shù)共有多少人?
7、*出了兩道數(shù)學題，全班40人中，第一有30人做對，第二題有12人未做對，兩題都做對的有20人。
(1)第2題對第1題不對有幾個人?
(2)兩題都不對的有幾人?
8、每邊長為10厘米的正方形紙片，正中間挖一個正方形的洞，成為寬1厘米的方框，把五個這樣的方框放在桌面上，成為如的圖案。問桌面上放這些方框蓋住部分的面積是多少平方厘米?
9、數(shù)學競賽都是填空題，小明答錯的恰是題目總數(shù)的14，小亮答錯5題，兩人都答錯的題目的總數(shù)的16，已知小明，小亮都答對題目超過了試題總數(shù)的一半，則他們都答對了多少道題?
10、在1到1998的自然數(shù)中，能被2整除，但不能被3或7整除的數(shù)有多少個?
【篇三】
奧數(shù)計數(shù)問題之容斥原理解析
1.有三個面積各為50平方厘米的圓放在桌面上，兩兩相交的面積分別是8、10、12平方厘米，三個圓相交的面積是5平方厘米，求三個圓蓋住桌面的面積?
2.某區(qū)有100名外語教師懂英語或日語，其中懂英語的有75名，既懂英語又懂日語的有20人。只懂日語的有多少名?
3.某班數(shù)學測驗時有10人得優(yōu)，英語得優(yōu)有12人，兩門都得優(yōu)有3人，兩門都沒得優(yōu)的有26人。全班有多少人?
4.六年級一班春游，帶礦泉水的有18人，帶水果的有16人，這兩種至少帶一種的有28人，求兩種都帶的有多少人?
5.在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)或不能被3整除或不能被5整除的數(shù)共有多少個?
