【篇一】
中國剩余定理的由來
韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
劉邦茫然而不知其數(shù)。
我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少?
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945(注：因為5、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積)，然后再加3，得9948(人)。
中國有一本數(shù)學(xué)古書「孫子算經(jīng)」也有類似的問題：
「今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何?」答曰：「二十三」術(shù)曰：「三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得�！�
孫子算經(jīng)的作者及確實著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會在晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。
【篇二】
中國剩余定理在數(shù)論中的地位
中國剩余定理是數(shù)論四大定理(威爾遜定理、歐拉定理、費馬小定理、中國剩余定理)之一，在初等數(shù)論中有著非常廣泛和重要的應(yīng)用。
中國剩余定理問題的解題技巧
【問題】有1個數(shù)，除以7余2.除以8余4，除以9余3，這個數(shù)至少是多少?
這種問題稱為“中國剩余定理”問題。
我一般用兩種方法解決這類問題。
第一種是逐步滿足法，方法麻煩一點，但適合所有這類題目。
第二種是最小公倍法，方法簡單，但只適合特殊類型的題目。
還有“中國剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復(fù)雜，普及應(yīng)用有一定難度，還不穩(wěn)定。所以一般不用。
下面分別介紹一下常用的兩種方法。
通用的方法：逐步滿足法
【問題】一個數(shù)，除以5余1，除以3余2。問這個數(shù)最小是多少?
把除以5余1的數(shù)從小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現(xiàn)最小的是11.
所以11就是所求的數(shù)。
先滿足一個條件，再滿足另一個條件，所以稱之為“逐步滿足法”。
好多數(shù)學(xué)題目都可以用逐步滿足的思想解決。
特殊的方法：最小公倍法
情況一
【問題】一個數(shù)除以5余1，除以3也余1。問這個數(shù)最小是多少?(1除外)
除以5余1：說明這個數(shù)減去1后是5的倍數(shù)。
除以3余1：說明這個數(shù)減去1后也是3的倍數(shù)。
所以，這個數(shù)減去1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個數(shù)減去1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個數(shù)減去1后是15，所以這個數(shù)是15+1=16.
情況二
【問題】一個數(shù)除以5余4，除以3余2。問這個數(shù)最小是多少?
這種情況也可以用特殊法。
數(shù)除以5余4，說明這個數(shù)加上1后是5的倍數(shù)。
數(shù)除以3余2，說明這個數(shù)加上1后也是3的倍數(shù)。
所以，這個數(shù)加上1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個數(shù)加上1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個數(shù)加上1后是15，所以這個數(shù)是15-1=14.
多個數(shù)的，比如3個數(shù)的，有時候其中兩個可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿足兩個條件的數(shù)后再用通用的方法求滿足最后一個條件的數(shù)。
所以有時候特殊法和通用法混合使用。在使用的過程中如果能靈活運用余數(shù)問題的技巧，會非常有利于解題。
我們接下來分析最開始的那個問題。
【問題】有1個數(shù)，除以7余2.除以8余4，除以9余3，這個數(shù)至少是多少?
這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過程中注意余數(shù)知識的運用。
除以7余2的數(shù)可以寫成7n+2。
7n+2這樣的數(shù)除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。(余數(shù)知識)
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6(余數(shù)知識)，則n最小取6。
所以滿足“除以7余2，除以8余4”的最小的數(shù)是7×6+2=44.
所有滿足“除以7余2，除以8余4”的數(shù)都可以寫成44+56×m。(想想為什么?)
要求44+56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。(余數(shù)知識)
56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2(余數(shù)知識)，則m最小取2。
所以滿足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的數(shù)是44+56×2=156.
【篇三】
運用中國剩余定理解題注意事項
如果整數(shù)a除以整數(shù)b所得余數(shù)是1，那么，整數(shù)a的2倍、3倍、4倍、……、(b-1)倍除以整數(shù)b所得的余數(shù)就分別是
1×2=2，
1×3=3，
1×4=4，
…………
1×(b-1)=b-1.
例如，15÷7=2……余1，即
2×15÷7=4……余2，
3×15÷7=6……余3，
4×15÷7=8……余4，
5×15÷7=10……余5，
6×15÷7=12……余6.
還請大家注意一條經(jīng)驗.
從某數(shù)a中連續(xù)減去若干個b后，求所得的要求小于數(shù)b的差數(shù)，實際上就是求數(shù)a除以數(shù)b所得的余數(shù).
例如，從758里連續(xù)減去若干個105后，求所得的要求小于105的差數(shù)，實際上就是求758除以105所得的余數(shù).即
758÷105=7……余23.
