圓
一、認(rèn)識圓
1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。
2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。
一般用字母O表示。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等．
3、半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用字母r表示。
把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。
直徑是一個圓內(nèi)最長的線段。
5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
6、在同圓或等圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7．在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的。
用字母表示為：d＝2r或r＝
8、軸對稱圖形：
如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。
折痕所在的這條直線叫做對稱軸。（經(jīng)過圓心的任意一條直線或直徑所在的直線）
9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。
10、只有1一條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。
只有2條對稱軸的圖形是：長方形
只有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形
只有4條對稱軸的圖形是：正方形;
有無數(shù)條對稱軸的圖形是：圓、圓環(huán)。
二、圓的周長
1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。
2、圓周率實(shí)驗(yàn)：
在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，求出圓的周長。
發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，就是圓周長與它直徑的比值是一個固定數(shù)（π）。
3．圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。
用字母π（pai）表示。
�。�1）、一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數(shù)。
圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)。在計算時，一般取π≈3.14。
（2）、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。
�。�3）、世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數(shù)學(xué)家祖沖之。
4、圓的周長公式：C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷2π
5、在一個正方形里畫一個的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。
在一個長方形里畫一個的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
6、區(qū)分周長的一半和半圓的周長：
�。�1）周長的一半：等于圓的周長÷2計算方法：2πr÷2即πr
�。�2）半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。計算方法：πr＋2r
三、圓的面積
1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。用字母S表示。
2、一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
3、圓面積公式的推導(dǎo)：
�。�1）、用逐漸逼近的轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，化抽象為具體。
�。�2）、把一個圓等分（偶數(shù)份）成的扇形份數(shù)越多，拼成的圖像越接近長方形。
�。�3）、拼出的圖形與圓的周長和半徑的關(guān)系。
圓的半徑=長方形的寬
圓的周長的一半=長方形的長
因?yàn)椋洪L方形面積=長×寬
所以：圓的面積=圓周長的一半×圓的半徑
S圓=πr×r
圓的面積公式：S圓=πr2
4、環(huán)形的面積：
一個環(huán)形，外圓的半徑是R，內(nèi)圓的半徑是r。（R＝r＋環(huán)的寬度．）
S環(huán)=πR2－πｒ2或
環(huán)形的面積公式：S環(huán)=π（R2－ｒ2）。
5、一個圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。
而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。例如：
在同一個圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大9倍。
6、兩個圓：半徑比=直徑比=周長比；而面積比等于這比的平方。例如：
兩個圓的半徑比是2∶3，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是2∶3，而面積比是4∶9
7、任意一個正方形與它內(nèi)切圓的面積之比都是一個固定值，即：4∶π
8、當(dāng)長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓周長最短。
9、確定起跑線：
�。�1）、每條跑道的長度=兩個半圓形跑道合成的圓的周長+兩個直道的長度。
�。�2）、每條跑道直道的長度都相等，而各圓周長決定每條跑道的總長度。（因此起跑線不同）
�。�3）、每相鄰兩個跑道相隔的距離是：2×π×跑道的寬度
�。�4）、當(dāng)一個圓的半徑增加ａ厘米時，它的周長就增加２πａ厘米；當(dāng)一個圓的直徑增加ａ厘米時，它的周長就增加πａ厘米。
11、常用各π值結(jié)果：
π=3.14
2π=6.28
3π=9.42
5π=15.7
6π=18.84
7π=21.98
9π=28.26
10π=31.4
16π=50.24
36π=113.04
64π=200.96
96π=301.44
4π=12.568π=25.1225π=78.5
12、常用平方數(shù)結(jié)果
=121=144=169=196=225
=256=289=324=361
分?jǐn)?shù)乘法
一、分?jǐn)?shù)乘法
�。ㄒ唬⒎�?jǐn)?shù)乘法的計算法則：
1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。（整數(shù)和分母約分）
2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。
3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。
注意：當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計算時，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計算。
（二）、規(guī)律：（乘法中比較大小時）
一個數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積大于這個數(shù)。
一個數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)（0除外），積小于這個數(shù)。
一個數(shù)（0除外）乘1，積等于這個數(shù)。
�。ㄈ⒎�?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)的運(yùn)算順序相同。
�。ㄋ模⒄麛�(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對于分?jǐn)?shù)乘法也同樣適用。
乘法交換律：a×b=b×a
乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：（a+b）×c=ac+bcac+bc=（a+b）×c
二、分?jǐn)?shù)乘法的解決問題
�。ㄒ阎獑挝弧�1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）
1、找單位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面
2、求一個數(shù)的幾倍：一個數(shù)×幾倍；求一個數(shù)的幾分之幾是多少：一個數(shù)×。
3、寫數(shù)量關(guān)系式技巧：
�。�1）“的”相當(dāng)于“×”“占”、“是”、“比”相當(dāng)于“=”
�。�2）分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應(yīng)量
（3）分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量×（1分率）=分率對應(yīng)量
三、倒數(shù)
1、倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。
強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨(dú)存在。
�。ㄒf清誰是誰的倒數(shù)）。
2、求倒數(shù)的方法：
�。�1）、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：交換分子分母的位置。（2）、求整數(shù)的倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1的分?jǐn)?shù)，再交換分子分母的位置。（3）、求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。
（4）、求小數(shù)的倒數(shù)：把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。
3、1的倒數(shù)是1；0沒有倒數(shù)。因?yàn)?×1=1；0乘任何數(shù)都得0，（分母不能為0）
4、對于任意數(shù)，它的倒數(shù)為；非零整數(shù)的倒數(shù)為；分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是；
5、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1；假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1；帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于1。
分?jǐn)?shù)除法
一、分?jǐn)?shù)除法
1、分?jǐn)?shù)除法的意義：
分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算。
2、分?jǐn)?shù)除法的計算法則：除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
3、規(guī)律（分?jǐn)?shù)除法比較大小時）：（1）、當(dāng)除數(shù)大于1，商小于被除數(shù)；
（2）、當(dāng)除數(shù)小于1（不等于0），商大于被除數(shù)；（3）、當(dāng)除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)。
4、“”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。
二、分?jǐn)?shù)除法解決問題
�。ㄎ粗獑挝弧�1”的量（用除法）：已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。）
1、數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問題中的關(guān)系式相同：
�。�1）分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應(yīng)量
（2）分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量×（1分率）=分率對應(yīng)量
2、解法：（建議：用方程解答）
（1）方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。
�。�2）算術(shù)（用除法）：分率對應(yīng)量÷對應(yīng)分率=單位“1”的量
3、求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾：就一個數(shù)÷另一個數(shù)
4、求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾：
�、偾蠖鄮追种畮祝捍髷�(shù)÷小數(shù)–1②求少幾分之幾：1-小數(shù)÷大數(shù)
或①求多幾分之幾（大數(shù)-小數(shù)）÷小數(shù)②求少幾分之幾：（大數(shù)-小數(shù)）÷大數(shù)
三、比和比的應(yīng)用
�。ㄒ唬⒈鹊囊饬x
1、比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。
2、在兩個數(shù)的比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
例如15：10=15÷10=（比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示）
∶∶∶∶
前項比號后項比值
3、比可以表示兩個相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例：路程÷速度=時間。
4、區(qū)分比和比值
比：表示兩個數(shù)的關(guān)系，可以寫成比的形式，也可以用分?jǐn)?shù)表示。
比值：相當(dāng)于商，是一個數(shù)，可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。
5、根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個數(shù)的比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。
6、比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系：
比前項比號“：”后項比值
除法被除數(shù)除號“÷”除數(shù)商
分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線“—”分母分?jǐn)?shù)值
7、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個數(shù)，比表示兩個數(shù)的關(guān)系。
8、根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，可以理解比的后項不能為0。
體育比賽中出現(xiàn)兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數(shù)相除的關(guān)系。
（二）、比的基本性質(zhì)
1、根據(jù)比、除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：
商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)時（0除外），分?jǐn)?shù)值不變。
比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。
2、最簡整數(shù)比：比的前項和后項都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣的比就是最簡整數(shù)比。
3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡單的整數(shù)比。
4.化簡比：
�、儆帽鹊那绊椇秃箜椡瑫r除以它們的公因數(shù)。
�。�1）②兩個分?jǐn)?shù)的比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡整數(shù)比的方法來化簡。
�、蹆蓚�小數(shù)的比：向右移動小數(shù)點(diǎn)的位置，先化成整數(shù)比再化簡。
�。�2）用求比值的方法。注意:最后結(jié)果要寫成比的形式。
如：15∶10=15÷10==3∶2
5．按比例分配：把一個數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種方法通常叫做按比例分配。
如：已知兩個量之比為，則設(shè)這兩個量分別為。
6、路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，時間比則為5：4）
工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。
�。ㄈ纾汗ぷ骺偭肯嗤ぷ鲿r間比是3：2，工作效率比則是2：3）
